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RISOLUZIONE DEL PBOBLEMA DEGLI SPAZI SECANTI 



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come inerente alia condizione («,„, at,, ..., n,J un ente costituito da an punto, da una 

 retta, ..., da uno spazio [s], eke si appartengono, ente chiamato da Schubekt (*) inci- 

 denza di spazl. 



Siccome la definizione di b t dipende dalla condizione («,-„, a,,, ..., at,) non si 

 potra considerare la b t come una condizione esplicita relativa alio spazio [#], quindi 

 ad essa non saranno applicabili le considerazioni dei paragrafi 7 e 8 ; anzi b , 6,, ..., b, 

 sono le radici dell'equazione simbolica 



{,«+] -f = Z(i_l)'- & b»+i-r = 0, 



come si pub dedurre dalla relazione simbolica 5 r = X,, che dimostreremo nel para- 

 grafo successivo. Le b t essendo poi tali che moltiplicate per una condizione caratte- 

 ristica non nulla possono dare per risultato una condizione caratteristica nulla, e 

 invece moltiplicate per una condizione caratteristica nulla possono dare per risultato 

 una non nulla, saranno da noi considerate solo come simboli operativi. Escludendo 

 pei-6 questa singolarita i simboli operativi b,.. si comportano come tutti gli ordinarii 

 simboli di condizione, e si pub per mezzo di essi stabilire uno speciale calcolo 

 snnbolico. Cos'i («,■„, at, , ..., «,,) b°' b°' ... b°' non e altrb che la condizione caratte- 

 ristica (at,, at,, ..., at,), nella quale i numeri at r , at,, ..., a^ sono stati rispettiva- 

 mente diminuiti di c u c 2 , ..., c, unita; analogo e poi il significato di (a, , at,, ..., at,) 

 <P(b , b,, ..., b,), ove (p(b , b,, ..., b,) indica un polinomio omogeneo nelle b,, avente 

 per coefficient! numeri interi positivi o negativi. 



Converra introdurre alcune notazioni. Con Z r (r=l, 2, ..., s, 8 + 1) si designera 

 la funzione simmetrica fondamentale r.b b l ... b r _, delle b , b t , ..., b,. Se poi imma- 

 gmiamo sviluppato il polinomio (b -)- b ( -\- ... -\- b,) r , dove r e un numero positivo, e 

 quindi si sostituiscono coH'unita tutti i coefficienti polinomiali, si ottiene una fun- 

 zione omogenea nelle b ,bi, ...,b, di grado r, che designeremo con V,. Secondo 

 Wronski la V, si pub chiamare una funzione aleph di grado r nelle b , b u ..., b,. 



Dalle convenzioni precedenti segue che il prodotto di (a,„, at,, ..., «,,) per una 

 condizione qualsiasi l~ e uguale al prodotto (a , «i , ..., a s )V considerato positivamente, 

 o negativamente, secondo che i , i it ..., i, e una permutazione pari o dispari. Inoltre 

 osserviamo che ogni trasposizione delle lettere a di (a, , at, , ..., at,) fa cambiare 

 segno a questa condizione. 



10. — Teorenia e formole fondamentali relative alle nuove convenzioni. 



Teoeema I. — Per moltiplicare una condizione caratteristica arbitraria (a, , a,, , ..., a*,) 

 per la condizione canonica <;, basta eseguire il prodotto (a, , a,,, ..., a, t )Z r . 



Osserviamo che se il teorema e vero nel caso in cui la permutazione i , i,, ..., i, 

 coincide colla permutazione 0, 1, ..., s, e pur vero in qualunque altro caso. Infatti, 

 s e operando sulle a del simbolo (a , a lt ..., a,) le trasposizioni %, ■&,, ..., "& t si ottiene 



(*) Allffemeine Anzahlfunctionen filr KeffelscfmiUe, Fldchen und Raume zweiten Grades in n Dimen- 

 sionen, " Math. Annalen ., Band 45, 1894.' 



