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GIOVANNI ZENO GIAMBELLI 



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(a,,, a,-,, ..., Oi,), per eseguire il prodotto (a, , a,-,, ..., a,,)s r bastera fare le trasposi- 

 zioni ^, ^T 2 , ..., ®i in ciascuna condizione caratteristica ottenuta dal prodotto 

 (a i «i, ••■, «»)^r; e, perche la Z r e una funzione simmetrica, questo risultato sara 

 uguale a («,-„, a,,, ..., «;,)£,. 



Dimostriamo ora il teorema per la condizione (a„, a l; ..., a,) distinguendo due 

 casi secondo che tutte le a sono differenti tra loro, oppure no. 



Riapetto al 1° easo il teorema e evidente, perche per la formola (II) i due pro- 

 dotti (<z , oi, ..., «,)?, e (a , a u ...,a,)T r coincidono tranne per condizioni caratteri- 

 stiche, le quali non influiscono affatto sul prodotto. 



Nel 2° caso osserviamo anzitutto che e a^a^t 



~a, e supponiamo dapprima 

 che nel simbolo (a , a lt ..., a,) vi siano tre almeno delle a uguali tra loro. In tale 

 ipotesi il teorema risulta suhito evidente, perche tutte le condizioni ottenute dal 

 prodotto («„, «!, ..., «,)£, sono nulle. Se invece non si da questo caso allora nel sim- 

 bolo (a„, Bj, ..., a,) vi saranno t coppie di a uguali tra loro, essendo t>l. Se e t>r, 

 il teorema e aneora evidente essendo tutte nulle le condizioni caratteristiche risul- 

 tanti dal prodotto (a , a u ..., a,)T r . Se invece e t<r, sia o„, a„ + i una delle £ coppie 

 di a uguali tra loro. Eseguito il prodotto (« , «i, •••, ajlr, supponiamo di aver tolte 

 tutte le condizioni caratteristiche nulle, e dividiamo le rimanenti condizioni in due 

 classi. Nella prima porremo tutte quelle in cui la lettera di indice u e divenuta 

 uguale a a„ — 1, e di conseguenza quello d'indice u + 1 e uguale a a„+i = «„ ; nel- 

 l'altra le rimanenti condizioni, cioe quelle in cui la lettera d'indice u e uguale a «„, 

 e quella d'indice u + 1 e uguale a a„+i — l= a „— 1. E facile vedere che queste 

 due classi eontengono lo stesso numero di condizioni e che ad ogni condizione della 

 prima classe si puo associare una sola della seconda, tale che differisce da questa 

 solo per le letters d'indice u, u -j- 1; e viceversa ad una condizione caratteristica 

 della seconda classe si pub associare una sola della prima. Di poi osservando che due 

 condizioni associate differiscono tra loro per una trasposizione, la loro somma e nulla, 

 onde si conclude che la somma di tutte le condizioni delle due classi e zero; c. v. d. 



Cos! e completamente dimostrato il nostro teorema. 



Di qui segue che se r designa una qualsiasi somma di condizioni caratteristiche 

 della medesima dimensione moltiplicate per numeri interi positivi o negativi, si avra 

 sempre : 



r. Sr =r.i r , 



onde vale la relazione simbolica: 



(TX) Zr = I,.. 



Ora poiehe tra la funzione aleph V h e le Y. r vale la relazione: 



F-V|_ n *+*rHH~. («•, + «■,+ ■■■ + 5+1) ! y r, r, r 



Vk ~ Li K l > r,'.r,\ ...r, +1 "! *1 *« - S+L > 



la quale e immediata conseguenza d'un'altra dimostrata dal Teddi (* 

 d'altra parte applicando alia (VII) la (IX) segue: 



e siccomo 



<*> = £(-l)' 



rHv-H-a-F— (r, - 



■ + . 







(*) Iniorno ad un determinantc pik generate di quello delle radici delle equazioni ed alle funzioni 

 omogenee complete di queste radici, " Giorn. di Matematiche „, 2, 1864, Nota IT, p. 183. 



