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GIOVANNI ZENO GIAMBELLI 



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nel quale D e il determinant di Vandermonde delle x , x h ..., X, e dove si attribuisce 

 a ciascun coefficiente il segno -f- oppure — , secondoche la permutazione i , ij, ..., i, e pari 

 oppure dispart. 



In particolare se nella proposizione IV le condizioni (c , ..., c,), ..., (f , ..., f,) sono 

 tutte eguali a <;,, allora vale il seguente teorema: 



II numero degli spam [s] soddisfacenti alia condizione 



essendo 



/j « + », + ... + a., + 6„ + b, -f- ... + A, — n(s +- 1) , 

 £ <fafo <feZ prodotto di p ! j»rf defrrminante 



(«. + »,-„ --«)!•• .(<*„ + *,,-»)! 



Questa formola dovuta a Schubert (*) e la piii importante di quelle prima d'ora 

 trovate relative al numero degli spazi [s] soddisfacenti a date condizioni. 



Dalla proposizione V segue invecequest'altraformoladovutapurealloScHUBEET (**), 

 cioe che il numero degli \s] soddisfacenti alia condizione 



e dato da 



(« ,«i, ..., «,H„ 

 I i i i -iiM-ini 



jO. 



dove qui D indica il determinante di Vandermonde relativo agli s numeri a ,a i ,...,a,. 

 Dalle proposizioni generali IV e V si possono dedurre altre notevoli formole che 

 per brevita omettiamo di enunciare. 



Osservazione. — Considerando i simboli b , j>,, ..., b, si e visto che qualunque 

 condizione algebrica relativa alio spazio \s] e uguale ad una funzione simmetrica 

 delle b , b,, ..., b s razionale intera, avente pero per coefficienti numeri interi (positivi 

 o negativi); ora viceversa e evidente che qualunque di tali funzioni simmetriche si 

 pub pensare come il simbolo rappresentativo d'una certa condizione algebrica, purche 

 pero si pensi sufficientemente grande lo spazio fondamentale [it], Cos! si pub dire 

 che esiste una corrispondenza algebrica biunivoca tra le funzioni simmetriche razio- 

 nali intere di s -)- 1 variabili, aventi per coefficienti numeri interi, e tra le condizioni 

 algebriche relative alio spazio [s] di \n\. Questa corrispondenza biunivoca permette 

 di dar subito una dimostrazione di qualunque formola relativa al problema degli 

 spazi secanti, e inoltre permette di assegnare di ogni risultato relativo al problema 

 degli spazi secanti uno relativo a quella tal classe di funzioni simmetriche; cosi per 



(*) Beitrag zur Liniengeometrie in n Dimcnsionen, " Mittheil. der Math. Gesell. in Hamburg „, 1892. 

 (**) Anzahlbestimmungen fiir Uneare Bourne beliebiger Dimension, " Acta Math. r , 8. 1886. 



