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EISOLUZIONE DEL PROBLEMA DEGLI SPAZI SECANTI 



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queste funzioni simmetriche si potrebbero enuneiare i teoremi corrispondenti a quelli 

 dimostrati nei paragraii 7 e 8 rispetto alle condizioni algebriche relative ad uno 

 spazio [s] di [«]. Infine dalla formola VI e faeilissirao dedurre rispetto alia funzione 

 simmetrica, quoziente d'un determinante di Vandermonde generalizzato per un deter- 

 minante di Vandermonde, l'equivalente sviluppo formato dalle funzioni simmetriche 

 fondamentali. 



12. — Come si possono semplificare i risultati precedenti? Dimostrazione 

 d'una formola intuita dal Pieri. 



Dalle proposizioni precedenti relative al prodotto di piu condizioni caratteristiche 

 mediante trasformazioni algebriche se ne possono dedurre altre, che talora possono 

 assai semplificare la ricerca. Qui per brevita ci limiteremo a considerare un solo 

 esempio di tali trasformazioni. 



Considerando il prodotto di due condizioni caratteristiche (ao,a u ...,a,), (b c „b 1 ,...,b ! ), 

 abbiamo che il coefficiente della condizione caratteristica (c , c,, ..., c.) e uguale a 



i«0" 



dove j « — c,- , 

 l'espressione 



(1) 



.,«, — Ci, j non e altro che il coefficiente di xl°~ c <o.. . a£« c >, nel- 



r,.yi— la ■r^ — bg 



x , ... .<-, 





1,1 1 



Kg"'" . ... ajj -4 " 





xl, afu . . . , x] 



e dove si da a ciascun termine il segno + oppure — , secondo che i . ..i, e una per- 

 mutazione pari oppure dispari. Applicando ora la trasformazione !/ t = — (£ = 0,l,...,s) 

 all'espressione (1), essa si pub scrivere: 



1, 1, 



• ,i 

 ■-.yj 1 ' 



1, 1. 



?/o, Vi, 



yo, yu 



onde si conclude subito il seguente risultato: 



