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BISOLUZIONE DEL PBOBLEMA DEGLI SPAZI SECANTI 



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In particolare se in questa proposizione poniamo 



n=2(h+l)(h — 1), s = k(h — 1) — 1, N=hk 



e di conseguenza si considera quale oondizione 



(a .a„-\- 1, . .., <J*, + s) 



la condizione di dimensions zero (*,*+ 1, ...,(* + 1)(* — 1)), si ottiene la seguente 

 proposizione del Castelnuovo (Cfr. citazione in principio): 



Date hk rette in uno spazio a (k + 1) (h — 1) dimensioni, il nume.ro degli spazi 

 [k(h — 1) — 1] che segano in punti queste rette e" uguale a 



l!2!3!...(*-l)!l!2!3!-(fc— l)l(ftfc)! 

 1121 8! ...(* + * — 1)! 



Occorre poi osservare che i simboli X(m c , ...,m,\ h, .... h,) sono sufficienti a dare 

 piii formole esplicite relative a qualsiasi prodotto di piil eondizioni caratteristiche. 



Infatti applicando la formola (V) del § 4 e il prineipio di dualita si ottiene per 

 esempio: 



Siano 



(«„, «„ ...,<*,), «", «l", -.«i"), •••>(«?', «t\ .-, «!'") 



p + l eondizioni caratteristiche arbitrarie e (c„, c u ..., c,) wna qualunque condizione ea- 

 ratteristica di dimensione uguale alia somma delle dimensioni delle p + l precedent* 

 eondizioni, allora, detta i , i„ ... , W-i una qualsiasi permutazione dei numeri 0,1,..., 



n s 1 e i M , i t i , . . . , it, (k = 1 , 2, . . . , jp) una qualsiasi permutazione dei numeri 



0, 1, ..., s, il coefficiente di (c , U ..., c<) nel -prodotto delle dette p+l eondizioni e data da 

 ^±^(c'„_.,_ 1 +«',„— n,.../i,+a\ n _^~n\n-a? ] -i K ,...,n-a<:>-i l ,,...,n-af-i r „,...,n-all' ) -i p ,), 



dove la sommatoria e estesa a tutte le permutazioni delle i, attribuendo a ciascun ter- 

 mine il segno + oppure — , secondoche di queste p + l permutazioni vi e un numero 

 pari o no di permutazioni dispari, e dove 



(a'„, a' i, ... , a'„-,_i). (c'o, c\, ... , c'„_,_,) 



sono rispettivamente le eondizioni duali di 



(a„, Oi, ..., a,) , (» — c„ n — c,_[, ..., n — c„). 



(Bispetto alia condizione duale d'una condizione caratteristica cfr. § h). 



Per brevita ometteremo di enunciare alcune notevoli formole particolari , le 

 quali pero sono facili a trovarsi. 



Non occorre spingere piii oltre le applicazioni delle proposizioni fondamentali 

 del § 11; le formole di Schubert e di Castelnuovo, che abbiamo dedotto quali casi 

 particolari di quelle proposizioni, costituiscono indirettamente una prova dell'esat- 

 tezza e dell'importanza del Calcolo Simbolico introdotto dallo Schubeet nella Geo- 

 metria Numerativa. 



