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GrACrNTO MOREBA 



Un'equazione illimitatamente integrabile dell'ordine r m ° si dira poi completa- 

 mente integrabile se oltre al valore iniziale della variabile dipendente sono arbitrari 

 i valori iniziali delle sue derivate parziali fino all'ordine (r — l) m °; sara invece incom- 

 pletamente integrabile se sono arbitrari soltanto i valori iniziali delle derivate par- 

 ziali fino all'ordine s ra0 , essendo s<r — 1. 



Questa nomenclature si estende ovviamente anche ai sistemi integrabili di equa- 

 zioni ai differenziali totali. 



Nel easo delle equazioni ai differenziali totali del primo ordine non c'e alcuna 

 distinzione fra la integrabilita illimitata e la eompleta. 



In questa memoria mi occupo della integrazione delle equazioni ai differenziali 

 totali del secondo ordine e dimostro che, tanto nel caso della integrabilita illimitata 

 semplice quanto in quello della eompleta, la integrazione si pud ottenere integrando 

 un'ordinaria equazione differentiate del primo ordine. 



Un'equazione ai differenziali totali del secondo ordine : 

 s Y X^asi + Y V Xydxidx, = , 



(1) 



e illimitatamente integrabile quando 1'espressione differenziale U pub porsi sotto la 

 forma : 



U=\d*f+df'¥u i d<e ( , 



(2) 



nella quale \, f, %,..., u n sono funzioni delle x lt x 2 

 Evidentemente allora l'integrale della (1) e: 



f=a, 



(3) 



ove a designa una costante arbitraria. 



Reciprocamente se la (1) ammette l'integrale (3) la V e neceasariamente della 

 forma (2). Infatti da (3) segue: 



d*f=0; df=0, 



e scelto un conveniente moltiplicatore \ si pub fare in guisa che U — Xd 2 /'noncon- 

 tenga il differenziale secondo di quella variabile che in forza della (3) si pub riguar- 

 dare come dipendente; in seguito si possono determinare n moltiplicatori w,,w 2 , ...,«„ 

 in guisa che 



U— \d*f— df YwA 



