SULLA INTEGKAZIONE DELLE EQUAZIONI AI DIFFERENZIALI TOTALI, ECC. 



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non contenga piii il differenziale dell'anzidetta variabile. Ma la espressione cosi otte- 

 nuta dev'essere nulla, mentre tra i differenziali delle variabili indipendenti non puo 

 passare alcunarelazione: dunque, osservato clie il valore assunto dalla variabile dipen- 

 dente in corrispondenza a valori qualunque delle indipendenti e in forza della (3) 

 arbitrario, concludiamo che tale espressione deve annullarsi per identita conforme- 

 mente al nostro asserto. 



§ 2. — Troviamo le condizioni necessarie e sufficienti affinche 1' espressione 

 differenziale U sia riducibile al tipo (2). Anzitutto identificando i coefficienti dei 

 differenziali secondi delle variabili, si conclude: 



X ^ = X, (4) 



^Xidx, = \df. 



i = l 



Dunque l'espressione differenziale del primo ordine "LXidXi deve ammettere un 



fattore integrante, per il che e necessario e basta che sieno soddisfatte le note con- 

 dizioni : 



ove il sinibolo (if) indica : 



x i yk) + x J {k$-\-x t (ij) = o 



(i,f,k = l, 2, ...,«), 



bXi 





Si noti che si ha identicamente: 

 aicche, facendo uso della notazione del Pascal 



(W)) = - g-*. 



sara: 



U ~ d Tj X ' dx ' ~ S Zt ^ i >^ dx ' dx i- 



i i j 



Nella ipotesi della integrabilita illimitata si ha : 



d ^ X,dx, = \d s f+d\.df. 



e perb posto : 



dxi 



(5) 



(10 



