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dovra per la (2) essere: 



GtACINTO MOEEEA 



£ £ ((</)) <fc, &} = <*f£ »A = Yj S "< 





dx.dx,. 



Questa identita si spezza nelle — ~ - relazioni: 



((»)) = «, -£- 

 ((«)) + ((/«)) = «.-£- + % 3 ' 



(»,/= 1,2, ...,»). 



d^i 



Fra queste equazioni e facile eliminare le ?>,: infatti si moltiplichi 1'ultima per 



-^- ■ -— tenendo presente la prima si ha immediatamente : 



did !)xj ' 



[(«)) + «*»]-£ ■ & = ((»•» (■£)' + M &)' • 



la quale per la (4) diviene: 



[((</)) + ((;*))] X^, = ((*i))XJ + ((;;))Xf (6) 



(»,/=l,2,8,...,n). 



Questa equazione si puo scrivere: 



xAum - mm + *,«((»)) - so/on = o, 



e si hanno altrettante equazioni di questo tipo quante sono le combinazioni binarie 



. ...... - v n(n — 1) 



degh indict, e cioe 



Se la (1) e completamente integrabile nel senso del prof. Pascal queste — g 



condizioni e le (5) sono tutte soddisfatte. 



Infatti il prof. Pascal ha dimostrato (Cfr. Mem. cit., pag. 5) che per la com- 

 pleta integrabilita della (1), oltre le (5), debbono essere soddisfatte le condizioni 

 seguenti : 



X{(hj))-X h {(ij)) = 0, 



le quali per h = ;' danno: 



X((;7))-X((y)) = 0. 



Come ovviamente risulta da quanto precede, le condizioni (5) e (6) non solo sono 

 necessarie per la illimitata integrabilita ma anche sufficient. 



§ 3. — In un mio articolo inserito nel Vol. XXVII (1886) dei " Mathematische 

 Annalen , sotto il titolo: Ueber die Integration der vollstdndigen Differentiate, a pro- 

 posito dei sistemi illimitatamente integrabili di equazioni ai differenziali totali del 



