SULLA INTEGKAZIONE DELLE EQUAZIONI AI DIFFERENZIALI TOTALI, ECO. 



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primo ordine, io osservavo che il noto teorema di Mayer, secondo cui l'integrazione 

 di un tale aistema si pub ridurre all'integrazione di un sistema di altrettante equa- 

 zioni differenziali ordinarie, equivale in ultima analisi al scegliere nel campo delle 

 variabili indipendenti la linea di integrazione a partire dal sistema dei valori iniziali a 



Questa osservazione e utilissima non soltanto per integrare i sistemi del primo 

 ordine, ma pub applicarsi immediatamente ai sistemi integrabili, parzialmente o com- 

 pletamente, di ordine superiore. 



Consideriamo un'equazione ai differenziali totali del secondo ordine (1), illimi- 

 tatamente integrabile. Supposto X„ non identicamente nullo, si riguardi la x„ come 

 variabile dipendente dalle x, , x 2 , ..., ,-<;„_!. 



Detti : x?\ xf, ..., xt'U i valori iniziali delle variabili indipendenti, si ponga: 



x 2 = 4° ; + cp 2 («; Ei, E 2 , ..., E„_j) 



(7) 



aw-i=a&+<p.-i(ti Ei, E s , ..., £,,_ s ) 



ove le <p, sono funzioni fra loro indipendenti di t, £ lt E s , ..., £„_ 2 , le quali si annullano 

 per t = (*). Allora riguardate le £, come costanti nel campo delle variabili indipen- 

 denti resta fissata una linea di integrazione. 



Siccome (§ 2): f=a e pure un integrale dell'equazione illimitatamente integra- 

 bile del primo ordine: 



X n dx„ + V y i(fe, = 0, 

 la x n si avra integrando l'equazione differenziale: 



n—l 



-^ dp_ t y x , _ 



dt l ^j 



(8) 



(9) 



ove le (p\ rappresentano le derivate parziali rispetto a t delle cp, e nolle X al posto 

 delle x l , ...,«„_! si devono intendere sostituite le loro espressioni nelle t e t date 

 dalle (7). 



In quanto segue le funzioni X 1: ..., X„, Zy, ..., cp, vanno concepite funzioni ana- 

 litiehe regolari dei loro argomenti, cioe funzioni analitiche, uniformi o finite dapper- 

 tutto in quei campi di valori che occorre considerare. 



Si determini la x„ come soluzione dell'equazione differenziale del primo ordine (9), 

 in guisa cbe t = essa assuma il prescritto valore x [ °\ e poi per mezzo delle (7) 



(*) Una trasformazione di questo tipo che si pub vantaggiosamente impiegare a cagione della 

 sua semplicitix e la seguente : 



Sunn II. Tom. L1I. 



2 + tZ n -z; Xn—\^ 



L, + *. 



