7 SULLA INTE&RAZIONE DELLE EQUAZIONI AI DIFFEEENZIALI TOTALI, ECC. 339 



Di qui riducendo e sopprimendo il fattore non nullo X„ si trova finalmente: 

 X,X, [((if)) + ((H)) | - X]((jj)) - X*((»)) = ; 

 (», j =1,2, ...,«- 1) 

 mentre la (11) pub scriversi: 



XA.Uf.in)) + ((»*))] — X.%nn)) — Xl((ii)) = 

 (i = 1, 2, ..., n — 1) 



e queste sono appunto le condizioni della illimitata integrabilita trovate al § 2. 



§ 5. — Le note condizioni necessarie e sufficienti per la illimitata integrabilita 

 dell'equazione ai differenziali totali di primo ordine: 



X„dx„ + 'S\x i dx i = 



(8) 



si ritrovano facilmente cercando le condizioni necessarie e sufficienti affinche la solu- 

 zione della (9) sia pur quella della precedente equazione ai differenziali totali, comunque 

 sia stata scelta la linea di integrazione. 



ltcputo opportuno fare questa rieerca perche essa mette in luce l'importanza 

 dell'osservazione (§ 3) da cui detto metodo di rieerca trae origine. 



Al solito invece delle x t , ..., :&„_, si introducano merce le (7) le variabili indi- 

 pendenti t; i u ..., E„_ 2 , e si ponga: 



Ur 



+ g« | 



*-*& + E*$ 



Sostituendo qui alia x„ la funzione di t, £,, ..., E„_ 2 , ottenuta come soluzione 

 della (9) e che assume il preacritto valore iniziale x 1 " 1 , la U, si annullera identica- 

 mente. Avremo : 



* * bt 



' " bh elf' Zj \ at bit ' ' fe , 



e derivando la (9) rispetto al parametro E t si otterra pure: 



r. Y b dx n , &Xn dx» , ''C 1 bXi dxi , , r 5fpi' 



~ J " Te s ~ST "T" bh "aT "+" Zj ! ~Eh "ST "+" A < 1e7 

 sicche sottraendo membro a membro ne risultera: 



iVk _ dJU bx^ _ ax, dxn 



dt dt bit bit dt 



t 



j dX, bqu 

 { dt 'bit 



, bXt 



