340 



ClIACINTO MOREKA 



Sviluppiamo le derivazioni ; dovremo porre : 



dX __ hX 

 dt dx n 



dt ' La te / 



bX_ _ iX tan , V 1 j)X_ d<P£ 

 af,. rW„ A?* ' /^ dxi dh 



r)Zk bx n d£k 



Dopo qualche ovvia riduzione si trova: 



dUt. 



-I(^Kt 



, d»"n dopt fen 



■L2>**- 



Eliminiamo di qui la -J^ per mezzo della (9), avremo: 



ove per brevita abbiamo posto : 



(nij) - X„(i;) + XAjn) + *,-M- 



Se la soluzione della (9) deve pure essere quella della (8) le U„ debbono esaere 

 identicamente nulle e quindi, stante l'arbitrarieta delle ipj , dev'esaere : 



(nij) = (i,j= 1,2, ..., n— 1). 



Reciprocamente si suppongano verificate tutte queste condizioni. Per t—0 si ha: 



drpi d*» ~ 



»t» "~ »H» -! ' 



giacche i valori iniziali delle <p ( sono nulli e quello di x, e aS 1 ; quindi per 0=0 si 

 ha 77,, = 0. Ma TJ t soddisfa all'equazione lineare ed omogenea : 



**£ + !>>'ft'-p»=o; 



per oonseguenza, essendo nullb il suo valore iniziale, essa sara sempre nulla. 



Dunque le condizioni (nij) = sono necessarie e sufficients perche la (8) sia 

 illimitatamente integrabile. 



