9 SULLA INTEGEAZIONE DELLE EQUAZIONI AI DIFFERENZIALI TOTALI, ECO. 341 



Osservato poi che si ha identicamente: 



X,(njk) + Xfyiki) + X h (nij) = X„{ijk) 



e che X, non e nullo, si conclude 1'annullarsi di tutte le (ijk). 



La mia osservazione, che rende intuitivo il teorema di Mayer, si applica con 

 ugual facilita ad un sistema di equazioni ai differenziaii totali del primo ordine ; 

 essa somministrerebbe le condizioni per la illimitata integrabilita eercando le condi- 

 zioni necessarie e sufficienti affinche la soluzione del sistema di equazioni differen- 

 ziaii ordinarie, che si ottengono dalle date fissando arbitrariamente la linea di inte- 

 grazione, sia pur quella del sistema proposto. 



§ 6. — Se 1'equazione (1) e completamente integrabile nel senso del prof. Pascal 

 l'equazione integrale, piii generale, sara della forma: 



f(x u x 2 , ..., .*„) = v, 



ove vp designa una funzione lineare a coefficienti arhitrari delle n — 1 variabili 

 indipendenti (*). 



Allora sono arbitrari non soltanto il valore iniziale xf della x„ ma anche i 

 valori iniziali a,, a. 2 <*„_, delle sue derivate parziali: 





fJCCn 



In luogo della trasformazione (7) impiegheremo per semplicita la trasformazione 

 piii particolare : 



as^af + iiftft, ...,5„_ 2 ), [«= 1,2, ...,*— 1), (7') 



ritenendo che le iLr< sieno scelte in guisa che le precedenti equazioni sieno risolvibili 

 rispetto a t, E lf ..., ?„_ 2 . 



Riguardati costanti i parametri i resta deflnita una linea di integrazione lungo 

 la quale la funzione incognita x n e da determinarsi integrando l'equazione differen- 

 ziale 3el secondo ordine: 





-»£*.*-5 l +SZ*<m*=o 1 



(12) 



in guisa che per t — si abbia: 



('*) Cfr. la memovia del prof. Pascal: GrumUagen. fill- tine Thcorie der St/steme totaler Differen- 

 tiuigUiehungm zweittr Ordmmg, " Math. Amialen „ Vol. 54, pag. 400. 



