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SULLA INTE&KAZIONE DELLE EQUAZIONI AI DIFFERENZIALI TOTALI, ECC. 



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Quest' ultima espressione e per la illimitata integrabilita identicamente nulla 

 (vedi § 4); mentre dalle condizioni trovate dal prof. Pascal per la completa inte- 

 grabilita si ha: 



sicche : 



X n ((in)) = X,((nn)), 

 (M)X„ 4 ((in))X„ - 2((nn))X = X„\((ni)) - ((in)) j = X„(ni) , 



dunque la (12) diviene: 



n-i 

 XI ■&■ - ((» n)) U] + X. £ (in) <V< . U, = 0. 



(12') 



Con questa equazione si diraostra ovviamente che se x„' e tale che per t =0 si 

 abbia TJ, = Q, si avra sempre U, = 0, ossia la soluzione generale della (12) si con- 

 verte in quella della (9') quando sia verificata la condizione: 



Xf 



fxo' + Y AT' Vj = 



0. 



§ 7. — Conosciuta la soluzione generale della (9'): 



x„ = x n (t, x<°>) , 



per ottenere quella della (12') si rieorra al metodo della variazione della costante 

 arbitraria x'°' e cioe si consideri questa come una funzione incognita x(t) da deter- 

 minare in guisa che x n (t, x) soddisfi alia (12'). 



La derivata della x„ rispetto a t conviene ora indicarla col simbolo V 1 , sicche 



ot 



la (9'J e da scriversi: 



X »1T+I>. = ' 



dxn dx 



e quindi avremo : 



Ul = ^"bx m 



Derivando la (9") rispetto alia x otteniamo : 



-V tfXn I &X n $Xn bx n 



dtdx 



fiXn &X 



to. , V 9X bx„ 



Abbiamo ora: 

 dUi 



v- dz„ d?x . „ tfx„ dr . „ J».r„ / dx \ 2 



+ 



dt "" ix dt- ' "*" dtdx dt 



iix n 5Xi / d.r n , dx n dx \ dx , dx, 



i>x d.r™ \ bt 



da? dt j dt 



• i dx n V oXi 



dx 

 ~dt 



(9") 



(13) 



