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GIACINTO MOEERA 



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Questa osservazione si pub oompletare dimostrando il seguente teorema: 

 Data un' equazione ai differenziali Mali del secondo ordine, completamente inte- 

 grabile: 



f/=VlA + Vy XydXidx, = , 



i i .i 



conosciuto un integrate f(#i, ..., *„) dell' equazione pure completamente integrabile : 



^ X,dx, = 



e determinato il relativo fattor integrante -r- , si pub sempre trovare una funzione q> 

 delta sola f tale che si abbia: 



U=\e 



-JM/ 



p\e SH, .df. 



Infatti essendo per supposto la U riducibile alia forma Xj d i f l , sara necessa- 

 riamente : 



y\x t dx i = Xdf=\idf l 



e quindi tanto /\ quanto -~- saranno delle funzioni della sola f. Assunto : 



dunque : 



V = \ l d i [e M '.df, 



K = X-^ = Xe 



-JM/ 



Effettuate le due differenziazioni avremo poi: 

 U=\{d s f+(fdf] 



c. d. d. 



(18) 



II teorema dimostrato offre il mezzo di giungere direttamente al risultato otte- 

 nuto nel § 7. 



Essendo la x = x(t;x„; £„ ..., ?„_») un'integrale della (8), detta f la funzione 

 cercata per la quale 



questa si avra dalla formula : 



f = e . dx , 



ove <p e una funzione della sola x da detenninare. 



