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Spit/.er. Note fiber Gleichungen. 



gauze rationale Polynome, respective vom Grade in — 3, In — 5, 

 Zn—1, . . . und multiplieirt der Reihe naeh mit 1, f, y'\ ■ ■ ■ , die 

 wir kurz so andeuten wollen: 



f ("0 



" 3 a; 3 + 2 a x + b 



= ft**- 



r w 



f"W 



(3 .x 2 + 2 a ,x + ft) 2 



f'W 



3!(3.x 3 + 2ax + *>) 

 f"(.r) 



- & ^"~ 5 -4 



- = Q, x ,n -~'Ar ■ ■ ■ 



(3ccZ + llax + by< ~~ SHR.x i + 2a^+bY i 5! (3x~ + 2ax + 6) 



Wir haben bier eine Reihe linearer Differentialgleichungen, 

 denen geniigt wird, fur: 



f(x) = (.r 3 + a.x 3 + 6 a?)*" 

 wie man sich durch unmittelbare Substitution iiberzeugen kann: also 

 geniigt auch eine Summe solcher Auflosungen, jedes Glied mit einer 

 willkiirlichen Constante multiplieirt , d.b. obige Gleichungen werden 



befriedigt, fur: 



f(x) — f (x 3 + ax"' + bx) 



3) Ganz eben so hat man, wenn 



f(u) — f (u* + au s + bu* -f cm) 



ist, fur M = x 4- ?/ V— l 



f(x •■+ //f— f) = y (® + ^ t / — 



wo 



« = ^* 4- a.x 3 4- 6** 4-.«« — s (e a? a + 3 a* + &) 4 »* 

 w = ?y [ 4 #« 4- 3 a x°~ -f 2 b x 4 c — jf (ix+ a)] 



sind, und folglich muss in diesem Falle der Ausdruck 



(s) f $j - S r (*) + si f™ (*)-••■ 



den Factor 



(6) 4.x 3 + zax* + zbx-\-c — y*(kX-\-a) 

 haben. Die Grossen a, b, c lassen sich so, wie im friiheren Falle 

 bestimmen. Umgekehrt, ist das Polynom (b) durch das Polynom 

 (6) theilbar, so ist 



f(u) = <f (m 4 4- au ? - -j-bu* 4- cm) 



