liber das Problem der vier Punkle bei Amvendung- des Messtisches. 227 



A. Wenn die Entfernungen a, <h der Punkte A, At von dem 



festen Drehpunkte C ohne Ende wachsen, wahrend ihr Winkel 7 der- 



selbe bleibt, so wird die Curve von der Lage der Linie o gegen den 



Punkt C, also von r and c5 unabhangig und nahert sich dieselbe mehr und 



inehr einem festen Krcise, in welcbem eine dem Peripheriewinkel 



7 entsprechende Sehne ist. Dieser Satz, weleber, wie schon in Art. 2 



bemerkt wurde, unmittelbar aus elementaren Griinden einleuchtet, 



ergibt sich audi ohne weiteres aus der Gleiehung (4). In der That, 



dividirt man diese Gleiehung durchgehends durch a 2 «, a und setzt 



dann a und a, unendlich gross, so erhSlt man 



x % + y 2 = * O + II col V- 7)' 

 welches die dem bezeiebneten Kreise zugehbrige Gleiehung ist. 



B. Die Zweige der (gesehlossenen) Curve bieten unter sich drei 

 Durchschnitts- oder sogenannte Doppelpunkte dar. 



Die Nachweisung dieses Satzes aus der Gleiehung (4) und nach 

 den gewohnlichen Regeln wurde zu sehr umstandlichen Rechnungen 

 fuhren. Geht man aber von den Gleichungen (1) und (2) aus, so 

 werden die Weitlauiigkeiten und insbesondere die Behandlung einer 

 Gleiehung vierten Grades vermieden, und kommen nur solche ersten 



Grades zur Auflosung. 



Man fasse zu dem Ende die Frage nach mehrfachen Punkten in 

 der Weise auf, dass man untersucht, ob es zwei verschiedene Werthe 

 von 6 gebe, fur welcbe sowohl x als y dieselben Werthe behalten. 

 Denn gibt es zwei solcher Werthe, so entsprechen diese nothwendig 

 einem Durchschnittspunkte der Curvenzweige unter sich. 



Von diesem Gesichtspunkte ausgehend, wollen wir nun mit o 

 und 8 jene zwei Werthe bezeichnen, dann entstehen zu (2) zwei 

 analoge Gleichungen : 



x {r sin ^+« sin (« — o )\ =y {r cos<tf+a cos (« — 6„)} 

 (a?-§) \r sin <tf+a lS in (a,— V)j =y [r cos^+chcos (a, -6,)— 3} 

 in welchen nun x und y genau dieselben Werthe wie in (2) haben 

 sollen. Eliminirt man nun die Grossen x, x — o und y unter der 

 Voraussetzung, dass keine derselben Null sei, aus den Gleichungen 

 (2) und (2°), so ergibt sich zunachst: 



r sin Trf + a sin (a — 6 ) r cos <tf + a cos (a - 8 ) 



(20) 



r sin Trf + a sin (a — 6 ) 

 r sin Trf + a, sin (a 4 — 6 ) 

 r sin "TO 1 + a x sin {oc i — S ) 



r cos Ttf + a cos (a — 6 ) 

 r cos Trf + «i cos (a,--J> }~~ 8 

 r cos Trf + «i cos (a*— 6 a )—S 



