Cher das Problem der vier Punkte bei Anwendung des Messtisches. 229 



Indessen bedarf es zur Bestimmung der Coordinaten x, y dieses 

 Curvendurchschnittes keiner weiteren Berechnung dieser Winkel. Man 

 kann dieselben lcicht durch die folgende Bemerkung finden. Zieht 

 man niimlich die Gleichungen (2°) von jcnen (2) der Ordnung nach 

 ab, so ergibt sich nach einigen Verwandlungen: 



f 6 + % \ 



sc = y tang \--± « J 



/9+0 o \ 



— 8 = y tang \~-^ «,J 



CO 



e + e 



erhalt. 



woraus man nun x und y, ausgedriickt durch tang 



Die Entwickelung, aus welcher sich dieser eine besondere Punkt 

 der Curve ergab, gilt nur unter der wohl zu beachtenden Voraus- 

 setzung, dass weder x nocb x— 9, noch endlich y Null sei ; denn 

 wean eine dieser Grossen Null ist, bleibt die oben vorgenommene 

 Elimination nicbt mehr zulassig. Urn daher zu untersuchen, ob jenen 

 ausgeschlossenen Fallen nicht ebenfalls Punkte gedachter Art ent- 

 sprechen, muss man zu den urspriinglicben Gleichungen (1) zuriick- 



kehren. 



Setzt man darin x und y gleich Null, so muss, wenn dieseHypo- 

 those einem doppelten Curvenpunkte entsprechen soil, T t sowohl fur 9 

 als 6 verschwinden, woraus man die Bedingungen erhalt : 



r sin <tf + «i sin («i — 9 ) = 



r sin <tf + «i sin («i — Go) = 0, 

 aus welchen sich 8 und Q ergehen. Fur den Zusammenhang dieser 

 Werthe erhalt man noch die Gleichung 



cos 



(-^=±=9- 



odor 2c 



-(6 + o ) 



+ ST. 



Es findet sonach audi im Anfangspunkte der Coordinaten ein 

 Durchschneiden der Curvenzweige Statt. 



Setzt man ferner in den Gleichungen (1) a?— 9 und y gleich 

 Null, so muss, wenn hierfiir ein doppelter Punkt stattfmden soil, 

 nothwendig Y fur die beiden Winkel und 6 ebenfalls Null werden, 

 wesshalb die Gleichungen: 



r sin "Bf 4" a **" 0* — & ) = ® 



r sin «Bf + a 8 " 1 ( a — &•) = 



