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W i ii c k I e r. 



bestehen mttssen. Hieraus ergeben sich die Werthe von 8 und 8 , 

 zwischen welchen noch der Zusarnmenhang, ahnlich wie oben 



2 a — (8 + 6 ) = ± n 



stattflndet. FoJglich ist audi der Endpunkt 0, der Linie $ ein Durch- 

 schnittspunkt der Curyenbogen. 



Andere Voraussetzungen lassen sich nicht machen, und die 

 Curve bietet daher drei Doppelpunkte dar. 



Die beiden zuletzt nachgewiesenen Punkte hatte man sehr leicht 

 aus der Figur direct erkennen konnen ; cs schien aber von Interesse 

 zu sein, den analytischen Gang durchgebends beizubehalten, um zu 

 zeigen, dass es in gewissen Fallen der Vorschriften der Difterential- 

 Rechnung nicht bedarf, um viel bequemer die „vielfachen Punkte" 

 nachzuweisen und ihre Lage vollstandig zu bestimmen. 



C. Die drei Durehschnittspunkte der Curvenzweige liegen in 

 dem unter (A) bestimmten Kreise, welchem, als Grenze, sich die 

 krumme Linie niihert, wenn a und «j ohne Ende waehsen. 



Diese Behauptung rechtfertigt sich sehr leicht aus den Glei- 

 chungen (S) , welche fur alle drei Punkte gelten, da bei ihrer Her- 

 leitung keine Elimination der Coordinaten stattgefunden hat. In der 

 That erhalt man ohne eine solche vorzunehmen aus jenen Gleichungen : 



" "t" ^o y tang a -\- x 



y- 



tancj 



y tang a t -\- (x — 5) 



2 y — x tang a y •— (* — <J) tang a 1 ' 



woraus man weiter Cndet: 



x--\--)f- = S( X -\-y cotg 7), 



weil «, — « = 7. Dies ist aber genau die unter (A) gefundeneKreis- 

 gleichung. 



Schliesslich die Bemerkung, dass die durch den ausserhalb O x 

 liegenden Curvendurchschnitt gehenden Geraden OA und 0, A A noth- 

 wendig den Winkel 7 mit einander bilden und dass daher der durch 

 die Punkte A, A u C gelegte Kreis dem oben bemerkten in jenem 

 Durehschnittspunkte begegnen muss. 



D. Worm Oi zu AAi parallel ist, so geht die diese Linien 

 halbirende Gerade zugleich durch den Punkt der Curve, in welchem 

 sich die Linien OA und O t A, schneiden. Dieser Satz lasst sich ana- 

 lytisch leicht nachweisen, ergibt sich aber auch aus einem bekannten 

 Satze der Theorie der Transversalen. 



