fiber das Problem der vier Punkte bei Anwendung des Messtisches. 233 



Addiif und subtrahirt man diese Gleichungen , so erlangt man: 



(- 



. «+ a i 



:— 1 + y cos — — J c<% |7 = o cos ^— OJ 



[+a? cos -~ + 2/ sin -y-J tore*/ | 7 = <> s »* ^-jjj 8 J- 



2 



a +a, 



Erhebt man diese beiden Gleichungen ins Quadrat und addirt sie, 

 so wird man nach einigen nabe liegenden Umformungen die folgende 

 linden : 



a? z I sin 



(■ 



- cos* 1 7 -f cos ~ ~^r~ ***** 



sin* I 7 



) 



(a -f-et, . a + a i \ 



s«re 2 sin* 1 7 + cos 2 — — cos* § 7 1 



— xy sin (a-f ai) cos 7 



suv 7, 



welches offenbar die Gleichung einer Ellipse ist. 



Wahlt man die Richtung der Abscissenaxe dergestalt, dass sie 

 den Winkel 7 balbirt, so wird a, = — a, und man erhalt die Glei- 

 chung in der sehr einfachen Form: 



x°~ sin* I7 + re 2 cos* |-y = — sm~y 



oder: 



a.' 2 . «/ a 



+ 



1, 



Bezeichnet man die Halbaxen der Ellipse mit a und b, so ist: 

 a = eoftj $7 , 6 = ta»»0 1 7 

 § = |/'o6 , taw*? §7 = y £. 



Hieraus ergibt sich die meines Wissens neue Eigenschaft der 

 Ellipse, wonach sich durch ihren Mittelpunkt jederzeit zwei zur 

 grossen Axe symmetrische gerade Linicn der Art legen lassen, dass 

 wenn man in denselben irgend zwei Punkte anninmit, deren Ent- 

 fernung der mitlleren geometrischen Proportionale der beiden Halb- 

 axen gleich ist, und wenn man durch sie zu jenen beiden Geraden 

 Parallelen zieht, diese sich in einem Punkte der Ellipse schneiden. 



Es ist klar, dass man vermbge dieser Eigenschaft, ohne der 

 Kreisschnitte zu bediirfen, die Ellipse bios vermittelst gerader 

 Linien construiren konne. 



