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3o CIRCA ALCUNI CASI DI INTEGRAZIONE ECC. 
arbitrarie, del quale, e si servi poi a dimostrare ancora altre proprietà 
delle equazioni lineari, e furono fatte in appresso felicissime applicazioni 
alla risoluzione di molti problemi di fisica-matematica e segnatamente 
di meccanica celeste. Fu inoltre dimostrato che, se Vasi Larini sn 
sieno m funzioni della x che poste in luogo della y nella equazione (II) 
la verifichino, e C,, C,, C;,..... C, sieno m costanti arbitrarie, 
l integrale generale di questa equazione è: 
SHQIP GY + 6m... + Cum: 
anzi provò lo stesso Lacrance che , se si conoscano solo n «zm integrali 
particolari dell'equazione (II), la determinazione del suo integrale com- 
pleto dipende dall’integrazione di un’altra equazione d'ordine m — n ancor 
essa lineare e mancante del termine indipendente dalla funzione e sue 
derivate. Quest'ultima proposizione, cui Lacrorx nel suo trattato di calcolo 
integrale dice essere la più generale fra le conosciute sull’ integrazione 
delle equazioni, e la quale conduce a trovare l' integrale completo del- 
l'equazione (II) quando se ne conoscano m—1 integrali particolari, fu 
pur dimostrata da Guglielmo Liri in una Memoria letta all Accademia 
di Parigi, stampata poi nel giornale di CreLLE (1) e per sunto anche in 
quello di Liovvrrrr; nella quale inoltre l'Autore dimostra parecchie ana- 
logie che esistono fra le equazioni differenziali lineari e le equazioni al- 
gebriche ordinarie, delle quali analogie perchè non aventi diretta relazione 
col mio scopo mi limito ad accennare le due seguenti: :." Nello stesso 
modo che da un’equazione algebrica ad una sola incognita di grado m 
si può far scomparire il termine che contiene la (m—n)*™* potenza 
dell’ incognita risolvendo un'equazione di grado n, si può da un’equazione 
differenziale lineare ordinaria d'ordine m far andar via il termine che 
contiene P(m-—n)*"^ coefficiente differenziale integrando un'equazione 
lineare d'ordine n; 2.° E come, date le m radici di un'equazione algebrica 
di grado m, questa è determinata e se ne possono scrivere i coefficienti 
in funzioni simmetriche delle radici date, così, dati m integrali particolari 
di un'equazione lineare d'ordine m mancante del termine indipendente 
dalla funzione e sue derivate, i coefficienti di questa equazione sono 
funzioni simmetriche, che si possono determinare, degli m integrali par- 
ticolari dati. 
(1) Anno 1833, Vol. 10.°, fasc. 2.° 
