5o CIRCA ALCUNI CASI DI INTEGRAZIONE ECC. 
proposta equazione (h) è effettivamente integrabile col metodo trattato in 
questo paragrafo. L'equazione (19) colla sostituzione degli accennati valori 
di a, b, k, Pi, P,, Ps, e fattovi di più m=3, si riduce alla seguente: 
dC. 9 dc 54 dC 162 
de Jai dx OZE de Ox PY 
C=o > 
il cui integrale completo, rappresentando con C,, C,, C; tre costanti 
arbitrarie, è 
C=C, (x—1)-2- C, (x — 1) els (3 — 1)! : 
Vintegrale generale della proposta equazione (b) sarà perciò 
yee (C(3x—1)-- C, (321) +C (3x —1)). 
$ 3. 
Uno degli argomenti. trattati dal Dottore Brunaccr nella sua Memoria 
già citata è l'integrazione dell’equazione differenziale lineare ordinaria 
d'ordine qualunque m, la cui equazione caratteristica abbia p radici-co- 
stanti ed m —p radici variabili. Dimostra l'Autore che l'integrazione 
dell'equazione proposta dipende dall integrazione di un'altra. equazione 
lineare d'ordine m — p , ed è perciò sempre possibile quando sia p=m—1. 
Questa proposizione è un corollario quasi immediato dell'altra più 
generale e più antica dovuta a Lacrance, di cui anche fu già fatta parola, 
la quale stabilisce che la determinazione dell integrale completo di un'e- 
quazione differenziale lineare ordinaria di ordine m, della quale si cono- 
scano p <m integrali particolari, si riduce all integrazione di un'equazione 
d'ordine m —p ancor essa lineare. 
Sebbene la proposizione del Dottore BnuwAccr sia già dimostrata in 
più d'un modo, tuttavia io mi propongo di tornarvi sopra, perché la via 
che io seguo per dimostrarla mi conduce a stabilire un teorema sulla forma 
della ridotta d'ordine m —p, mercè il quale questa si può formare con 
calcoli senza confronto pià semplici e pià brevi che quelli indicati da 
BmuxAccr, e si può scrivere l integrale completo dell'equazione proposta 
appena sia conosciuto quello della ridotta. Sia dunque l'equazione lineare 
dr="y 
d" y dm-sy 
2j Y HAT a d, y HO 3 
+A + 
dx" Li dea” 
e l’equazione sua caratteristica 
