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60 CIRCA ALCUNI CASI DI INTEGRAZIONE ECC. 
un integrale particolare o rispettivamente l’integrale generale della pro- 
posta equazione (5) sarà 
U 
PU 
Ciò posto, tornando al caso dell’equazione (29), se si divida il primo 
membro (6) della sua equazione caratteristica per x^, questo verrà a 
coincidere con (ò), in cui siasi posto F(xw)=x* purchè f(z) rappresenti 
un polinomio razionale intero in z a coefficienti costanti. Ma in tal caso 
si sa sempre trovare l’espressione più generale U della funzione di x 
che soddisfa l'equazione differenziale lineare la cui caratteristica è f(2)=0, 
sì conoscerà pure adunque l’integrale completo della proposta equa- 
zione (29), il quale sarà 
U 
TER" 
Cosi l’equazione 
; PIAR eae 
(e) TD qx da? 4x ut (n +3)y=0 , 
che ha per equazione caratteristica 
4x z —hxztpha +izo, 
il cui primo membro ordinato rispetto alle potenze di x coincide con (f) 
in cui siasi fatto m=2, p=2, k=—!, f(2)=42+4, è in- 
tegrabile col metodo in discorso, e siccome l’equazione 
du = 
mm Us) 
da? 3 
la cui caratteristica è 
z'-«-120, 
o ciocché fa lo .stesso 
42-40, 
ha, denotando con C, e C, due costanti arbitrarie , per integrale generale 
u= C, sen. x +C,cos.x , 
l'integrale completo della proposta (e) sarà 
y=Yxw(C,sen.x-+C,cos.x) . 
Similmente l'equazione 
„diy d? de d x 
E J 4-820 52, — (00-12) d m Bae + (o —4)yzo, 
da 
il primo membro della cui equazione caratteristica ordinato rispetto alle 
potenze di x è 
