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66 CIRCA ALCUNI CASI DI INTEGRAZIONE ECC. 
In fatti ricavando dalla (35) l'espressione del coefficiente differenziale‘ 
d'ordine qualunque (m—i) della y si trova 
(35)... s =(m—A—1) (m—A—2) (m—A—3)... ((i—4)(x—2a.)-^^ ; 
e sostituendo nella (36) per y la sua espressione data dalla (35) e per 
i successivi coeflicienti differenziali della y i loro valori ricavati dalla (37) 
coll'attribuire ad i valori convenienti il primo membro della detta equa- 
zione (36) si riduce a 
(=) 4(4—1)(4 —2)..... (4 —m--1)(x—2a,)-*-' 
f (2) — (x LE (e a y LA E 
x 
+0 ay LIA arena E 
=(— 1)" A(A—1)(4—2)... (A—m+ 1) (x— 2.) 7 f[x—(x—a,)] 
=(— 1)" 4 (4—1) (43). (4m) (4) Sa) , 
per essere a, radice della (34), ossia perchè si ha. f(a,)=0. 
Di qui ne segue che, se f(x) sarà di grado m‘"° ed. 4 un nu- 
mero negativo, o positivo frazionario, o se positivo ed intero sarà uguale 
o superiore ad me, dette a, , dagpagiuon nie a, le m radici dell'equa- 
zione (34) e C, , Ci, Cr ae Cn m eostanti arbitrarie , l’ integrale 
completo della (36) sarà 
(38) eee r= 0d E RC A T 
+ C; (x — a)" 1 + Fi rite + C,(x—a,)"-^4-' j 
Questa equazione cessa di rappresentare l'integrale completo della (36) 
quando la (34) abbia una o più radici multiple; è però facile, appli- 
cando metodi conosciuti, il provare che, se la radice a, e n**, cioè se 
abbiasi 
RNA Ev Caf 
sostituendo nel 2.° membro della (38) al polinomio 
C, (x — a) + C, (ea) + C (x —a5)n74-: 
n HOT vein + C,(x—a,)"-4- 
