68 CIRCA ALCUNI CASI DI INTEGRAZIONE ECC. 
equazione (i) sono appunto ciò a cui si riducono le espressioni 
dA-1r)f'@ , 4(4—1(4—2/7(x) 
2 2 
quando vi si ponga A=} e f(x)-—8(x^4-x'), e siccome l'equazione 
e e . 
ha due radici uguali a zero ed una uguale a —: V integrale generale 
della (i) rappresentando con C,, C,, C; tre costanti arbitrarie sarà 
DET C. 
y=0 Varie Por ; 
Se il polinomio f(x) fosse di grado ¿<m il secondo membro della (38) 
[| non conterrebbe più che i termini, epperció non più di ¿ costanti arbi- 
I trarie, l'equazione (38) non sarebbe più allora l’integrale generale della (36): 
|! in tal caso perd, siccome la (36) non contiene la y sotto forma finita né 
alcun suo coefliciente differenziale d'ordine inferiore al (m—i)*""*, si 
| scorge che, rappresentando con Es, E,, E,,.....E,_;,, m—i 
| costanti arbitrarie, l'equazione 
Ric 
n yok +E e+ bx’ +... E. 2” 
verifica altresi la (36), il cui integrale completo sara percid 
| (39) .... = E+Ex+E.x°+..... CUT DS a 
-r C, (x —a,)"7^-'2- C, (x —a,)"-4— 2... 4 C(x —a;)^74— . 
Tanto poi nel caso particolare ultimo esaminato l'equazione (39), quanto 
particolare della proposta, se 4 sia uguale ad alcuno dei numeri 1, 2, 
dy vs due mi—1. Allora infatti i secondi membri delle equazioni (38) 
€ (39) sono polinomi razionali ed interi in x di grado inferiore ad m—1, 
epperò contenenti meno di m costanti arbitrarie distinte. Tuttavia se A 
abbia alcuno degli accennati valori, ed anche quando 4 =m, non solo 
| si potrà trovare l’integrale generale dell'equazione (36) nel caso che 
f(x) sia, come abbiamo fin qui supposto , un polinomio razionale ed 
intero in x di grado non superiore ad m, ma ben anche quando ye) 
rappresenti una funzione qualunque algebrica o trascendente della x. 
7 | nel caso generale l’equazione (38) non rappresentano più che un integrale 
I 
m—i 
` d ; EX 
Supposto infatti A=i<m, e fatto TA => l'equazione (36) si 
trasforma nella seguente: 
