DI G. V. SCHIAPARELLI 231 
vista si presentano sotto forma assai complicata. Nell'uno e nell’altro caso 
ogni artifizio non può applicarsi utilmente che ad una classe particolare 
di questioni. 
I geometri si sono per conseguenza limitati sempre ad alcuni casi 
particolari atti a facilitare quel genere di ricerche che aveano in vista (11). 
Fra questi è degno di nota l'elegantissimo principio delle imagini di 
W. Tuomson, per cui si trasforma una figura in un'altra prendendo la 
reciproca dei suoi raggi vettori (12). Esso offre forse il modo più facile 
e naturale di considerare le proiezioni stereografiche: dà semplici ed ele- 
ganti dimostrazioni geometriche dei teoremi pià complessi della trigono- 
metria sferica; e serve con maravigliosa facilità alla risoluzione dei problemi 
relaüvi ad intersezioni e contatti di circoli e di sfere. La trasformazione 
iperbolica ha con quella di Tuomson la stessa analogia che I’ iperbole 
equilatera col circolo, e gli esponenziali colle linee trigonometriche. Ambe 
hanno proprietà comuni all'una e all'altra: ciascuna ha inoltre delle pro- 
prietà speciali che nell’altra non trovano che delle correlative. 
Nostra intenzione non è dare nelle cose che seguono una trattazione 
sistematica delle trasformazioni geometriche : tanto varrebbe voler sotto- 
porre a regole determinate gli artifizi analitici: ed è molto a dubitarsi 
se tale impresa si possa mai condurre a buon fine. Riflettendo però alle 
diverse espressioni analitiche con cui le trasformazioni si possono rappre- 
sentare, si trova esistere una classe delle medesime in cui ad un solo 
punto della figura primitiva corrisponde anche un solo della trasformata, 
in virtù della semplicità delle equazioni di trasformazione, le quali danno 
il sistema delle nuove coordinate in funzione delle antiche, e queste in 
funzione di quelle, per mezzo di equazioni di 1.° grado. Tal classe dee 
necessariamente comprendere tutte le trasformazioni più semplici e più 
utili; discutendola infatti, si trova esservi comprese non solo le deforma- 
zioni di Ancmmenr e di Stevin, e la deformazione omografica, ma ancora 
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uella di Tuowsow, a cui è correlativa la trasformazione iperbolica: e 
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(11) Non parliamo di certe conversioni di figure a cui si può dare eziandio il nome di Trasfor- 
mazioni, ma non si fanno col deformare la figura secondo una data legge: bensi collo scambiare 
elementi di una specie in elementi d’altra specie, come rette in punli e viceversa, volumi in aree 
(come nel metodo degli indivisibili), aree in lunghezze, ecc. Qui non è questione che delle de- 
formazioni o anamorfosi propriamente dette. 
(12) Se ne può vedere una breve esposizione nell’ interessante operetta di SERRET, Des Méthodes 
en Géométrie, Paris 1855. Si consulti pure LIOUVILLE, Journal de Mathématiques, vol. XU. 
