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282 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
come caso particolare, compreso fra le due, esiste pure in questa classe 
una trasformazione parabolica. 
La trasformazione di Tromson essendo già stata trattata da diversi 
geometri, io mi rivolgo nella seconda parte alla trasformazione iperbolica, 
esaminandone le principali proprietà , e waendone alcune deduzioni rela- 
tivamente all’identità di proprietà descrittive che ha luogo fra un sistema 
qualsivoglia di rette, e un sistema analogo di coniche assoggettate a pas- 
sare tutte per 3 dati punti: e fra un sistema qualsivoglia di piani e un 
sistema analogo di superficie di 2.° grado assoggettate a passar tutte per 
lo stesso punto e per la stessa conica. 
Come queste considerazioni geometriche possano giovare anche all’analisi 
vien dimostrato sul fine del lavoro, dove non solo si traducono analitica- 
mente i risultati prima trovati colla geometria, ma viene estesa la trasforma- 
zione iperbolica e le sue proprietà ad un numero qualunque di variabili, 
per il chie le considerazioni geometriche non possono più servire. Inoltre 
applicando la trasformazione iperbolica alle equazioni indeterminate di 2.° 
gradoïa 2,53; 4,02. variabili, si viene a mostrare sotto un aspetto 
nuovo l’analisi indeterminata di 2.° grado per quanto riguarda le solu- 
zioni razionali: ed anche per quanto riguarda le soluzioni intere, trat- 
tandosi di equazioni omogenee. 
CAPO PRIMO. 
FORMA GENERALE DELLA TRASFORMAZIONE DI 1.° ORDINE 
ED ANALISI DEI SUOI ELEMENTI. 
Il. Forma generale della trasformazione di 1.” ordine. 
Sia F(x,y)=0 l'equazione di una linea in piano; e supponiamo 
che si domandi di trovare l'equazione della linea in cui essa si trasforma, 
allorquando se ne trasportano i punti secondo una legge determinata. 
Questa legge non si potrà matematicamente esprimere, che col dare due 
equazioni fra le antiche coordinate x, y e le nuove &, n, in guisa che 
dati i valori delle prime (o il sito di un punto primitivo) se ne possano 
ricavare le seconde (o il sito del punto trasformato corrispondente) e 
viceversa. Supporremo dunque che la data legge di trasformazione sia 
rappresentata dalle due equazioni 
