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E manifesto che ricavando da esse i valori d x; y in funzione di ë, x 
e surrogandoli nella data F(x,y)=o, risulterà un'equazione in ë, 7, 
come (Ë,%)—0o, la quale rappresenterà la curva domandata. Per 
maggior chiarezza. d'espressioni chiameremo curva primitiva quella rap- 
presentata dalla data equazione f(x, y)= o tra le coordinate primitive 
x ed y: daremo poi il nome di trasformata alla curva e all'equazione 
D(Ë,1)æo fra le coordinate trasformate E, n: Le equazioni (1) saranno 
comprese sotto il. nome di trasformatrici. 
La natura della trasformazione che si opera dipende esclusivamente 
dall indole delle equazioni (1). Elle si applicano non solo ai punti della 
linea che si vuol trasformare, ma eziandio a tutti gli altri punti situati 
nel piano della medesima: così che quando in questo siano descritte più 
linee, converrà tener conto della loro trasformazione simultanea. Le stesse 
cose valgono per le tre dimensioni , dove naturalmente le equazioni trasfor- 
matrici fra le coordinate primitive x,y,z, e le trasformate £, z, € 
saranno tre. 
Essendo dato un sistema di valori delle coordinate primitive, o un 
punto primitivo, si potrà dalle equazioni trasformatrici ricavare un sistema 
di valori per le coordinate trasformate, o (più; sistemi, anche in numero 
infinito, come può avvenire, quando le: (1) appartengono alla famiglia 
delle equazioni trascendenti. Cosi ad un punto primitivo può corrispon- 
dere: un: solo punto trasformato , ma ne pub corrispondere. un. numero 
maggiore; ed anche. infinito. Inversamente lo stesso. punto. trasformato 
può (corrispondere! ad uno: |o pit od: anche infiniti punti. primitivi. La 
moltiplicità dei valori;;puó «qui diventare non. meno «molesta, che nelle. 
ricerche idi;\amalisi: pura; ¿Gomes d'altra parte nell’ infinito numero. delle 
trasformazioni: possibili non: siisono ancora. considerate che poche. delle 
più semplici vel quí più che altrove. necessario. procedere dal semplice 
al composto: abbandoneremo per orale trasformazioni multiple e; d'ordine 
‘superiore, limitandoci a considerare quella classe, per cui ad ogni punto 
primitivo non corrisponde che un trasformato, e viceversa: sicuri, che 
in tal classe saranno contenute tutte le. trasformazioni più semplici e di 
più utile applicazione. A queste abbiam. dato: il nome di trasformazioni 
di 1. ordine. 
Trattasi primieramente di stabilire quale debba essere la forma delle 
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