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234 SULLA TRASFORMAZIONE ‘GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
equazioni (1) nella trasformazione generale di 1.° ordine. Ammetteremo 
per questo fine i due seguenti postulati : 
a) Che le trasformatrici (1) siano algebriche, e non contengano x, y 
o E, v sotto segni trascendenti. D'ordinario le trascendenti, o nella forma 
diretta, o nella forma inversa introducono una infinita multiplicità di 
valori. Noi però vogliamo avere l’unità di soluzione nel vero senso ana- 
litico, e teniamo quindi anche conto delle soluzioni infinite ed immaginarie. 
Dovremo perciò escludere tali trascendenti, anche quando offrono una 
soluzione reale unica, come i logaritmi. Non è agevole pronunziare se 
esista una trascendente tale, che prenda un solo valore analitico per ogni 
valore del suo argomento, e viceversa. Data però anche la sua possibilità, 
noi vogliamo limitarci alle trasformazioni algebriche. 
b) Che onde ad un dato sistema di valori x, y corrisponda un 
solo sistema ë, 4, questo debba potersi ricavare dal primo per mezzo di 
equazioni lineari in ë, 1: e inversamente, onde a dati valori di €, 7 
corrisponda un solo valore d x, y, questi derivino da £, n per mezzo 
di equazioni lineari in x, y: ciò si rende evidente dalla teoria delle 
curve. Affinchè due linee algebriche poste in une stesso piano s'incontrino 
in un solo punto, elle debbono essere linee rette (*). Dunque perchè da 
due equazioni in x, y risulti un solo sistema di valori, queste equazioni 
debbono essere lineari in x ed y. 
Queste cose essendo stabilite , osserveremo, che le due equazioni 
trasformatrici algebriche si potranno sempre, dopo la disparizione dei 
radicali e dei denominatori, ridurre a non contenere che potenze intere 
e positive delle quattro variabili x,y : č, n. Ed affinchè queste equa- 
zioni possano servire ad una trasformazione di ;r.° ordine, converrà che 
siano lineari rispetto ad x,y quando &, n ‘siano considerate come co- 
stanti; e lineari rispetto a €, n, quando si suppongano costanti x,y: 
Ciascun termine adunque non dovrà contenere più che una: dimensione 
di x, y, e non più che una dimensione di E, #., La forma delle due 
equazioni non potrà essere che la seguente: 
o — P,-- Q, x+ Q,y +0;5+Q,n1+R,éx+R,ny+R;éy P Tuae 
Adottando dunque i segni 4' A"... 4/ 4"... B' B"... ecc. per indicare 
dei coefficienti costanti, avremo, ordinando prima rispetto ad x ed y, 
(*) Si noti che le soluzioni imaginarie, infinile od eguali, vengono qui anche in calcolo. 
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