DI G. V. SCHIAPARELLI 251 
conservi il valore primitivo, cioè nel r.° caso poniamo m 2a, nel secondo 
a E Vs RI D 
He , nel terzo m=a.Y 2, le curve primitive si confonderanno colle 
2 
trasformate. Come inoltre la direzione dei raggi vettori non viene alterata, 
segue che tutti i punti di tali curve non cambiano di sito durante la 
trasformazione , e sono quindi linee di punti invariabili, come già tro- 
vammo essere la linea HK nella fig. 3. 
Costruendo queste linee dei punti invariabili dietro le loro equazioni 
aya ayia, (xy) maa, 
si troverà (fig. 9) che esse si toccano nei punti «c distanti dall’origine 
della quantità a e posti s'una retta 44! inclinata egualmente sui due 
assi delle coordinate: retta che si potrebbe anche assumere quale asse 
comune di simetria per le tre trasformazioni. Prendendo ora due altri 
punti 4 ed 4' ad eguali distanze su questa retta, e costruendo per essi 
le curve corrispondenti dei tre sistemi, esse saranno ivi pure fra loro 
tangenti: lo stesso accadrà delle loro trasformate, le quali avranno un 
(aa) 
A A! > 
tore qualunque SS, nella trasformazione ciclica saranno invariabili i punti 
x e x'; inoltre cc' avranno CC' per trasformati, e viceversa. Nella tras- 
formazione iperbolica saranno invariabili i punti eo; e Ah! avranno per 
asse aa'= cioè reciproco di 4 4’. Se si conduca un raggio vet- 
trasformati 77 H'; e nella parabolica i punti invariabili saranno #7, mentre 
i punti pp! avran per trasformati PP’, e inversamente. Lungo l’asse 4 4! 
le tre trasformazioni producono tutte il medesimo effetto. L'essere poi i 
parametri delle nostre curve reciproci, quando le curve sono reciproca- 
mente trasformate l’una dell’altra, conduce alla conclusione, che quanto 
più i punti primitivi sono prossimi all'origine, tanto più lontani ne an- 
dranno i trasformati: per guisa che nel punto O può considerarsi come 
raccolto tutto lo spazio, che prima della trasformazione giaceva tutt’al- 
Pintorno a distanza infinita. Esso è ad un tempo il centro della trasfor- 
mazione , e il suo punto accidentale. Ogni linea che passi m volte per il 
punto O dopo la trasformazione svilupperà 272 rami infiniti correnti due 
a due in direzioni opposte: e l’inversa ha pur luogo, salvo alcuni pochi 
casi d’eccezione nelle due ultime trasformazioni. Esistono, oltre alle pre- 
cedenti, molte altre correlazioni; ma dobbiamo riservarne lo sviluppo 
o 
al Capo 2. 
