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260 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
da Macnus, da Steer e dallo stesso Bettaviris ( Nuovi saggi dell Ac- 
cademia di Padova Vol. IV, pag. 284). Nel fatto tale trasformazione , 
analizzata secondo il nostro metodo, si risolve sempre in una deformazione 
omografica combinata con una delle 3 trasformazioni coniche, cioè con 
una trasformazione iperbolica, quando i 3 punti cardinali ( che sono pre- 
cisamente i 3 punti da noi finora considerati) sono tutti e tre reali; con 
una trasformazione parabolica quando due di essi sono infinitamente vicini 
o (condizione equivalente ) quando uno è infinitamente lontano: con una 
trasformazione ciclica, quando 2 punti cardinali sono immaginari, 0, 
come li chiama BzrravrmIS, fittizi. 
Conclusione. Ogni trasformazione di 1.° ordine, anche della forma più 
generale quale fu data al $ TI è sempre effettuabile per mezzo della sovrap- 
posizione di una trasformazione conica e di due omografiche. Troppo 
lungo sarebbe voler esaminare parte a parte i casi speciali, e le eccezioni 
apparenti: per ora basterà osservare, che le trasformazioni speciali risul- 
tanti da questi casi non escono dalle regole della trasformazione generale 
più che non escano dalla categoria delle sezioni coniche due rette con- 
correnti, due rette parallele, un punto, o altrettali casi particolari. 
Le trasformazioni elementari ed irreduttibili di r." ordine non sono 
dunque, propriamente parlando, che tre: 
A. La trasformazione lineare, che conserva il parallelismo delle rette 
e le proporzionalità delle misure prese nella stessa direzione. Comprende 
in sè tre altre trasformazioni di concetto geometrico più semplice: a) l'e- 
stensione proporzionale, o allungamento della figura in una data direzione; 
b) la trasposizione della figura nel proprio piano; c) l'inclinazione delle 
coordinate sotto un angolo costante rispetto alle coordinate primitive. 
B. Za trasformazione omografica o prospettiva, la quale non è risolu- 
bile in altre più semplici. Essa conserva il grado delle linee, e i rapporti 
anarmonici dei punti situati in linea retta e delle rette convergenti ad 
un punto. Combinata colla precedente dà la trasformazione generale di 
WARING. 
C. La trasformazione conica, esaminata nel § VI. Essa conserva le 
direzioni rettilinee solo in certi casi particolari: in generale duplica il 
grado delle linee trasformate. Si conservano però i rapporti anarmonici 
delle proiezioni dei punti sopra gli assi delle coordinate. Essa ha tre forme 
diverse, che sono le sopra chiamate ciclica, iperbolica e parabolica: 
ciascuna di esse è semplice ed irreduttibile alle altre. Combinata colle 
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