268 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
In una seconda proposizione l'Accademia si limitò a domandare dei 
teoremi sulle superficie di 2.° grado analoghi a quelli di Pascar e di 
Bnrawcuow , senza però determinare in nulla la natura dell'analogia ri- 
chiesta. In questa forma il problema ammette soluzioni di vario genere 
dipendenti dal modo di considerare quest’analogia. Una molto artifiziosa 
fa data da Crases (*). Quella che segue è un frutto delle considerazioni 
sviluppate nel $ precedente, e per questo non parve inopportuno qui 
addurla. 
i. Lemma - Per due curve o sezioni piane qualunque di una superficie 
S di secondo grado è sempre possibile far passare due coni diversi. 
Immaginiamo infatti prolungati i piani delle due sezioni fino all’ incontro 
dei medesimi; indi rivolgiamo la figura in modo, che la retta intersezione 
dei due piani venga a collocarsi sul piano accidentale di una deformazione 
omografica. Trasformando , i due piani seganti diventeranno paralleli 
(8 X, 2). In questa trasformazione la superficie S non avrà cessato di 
appartenere al 2.° grado (SX, 4); quindi le 2 sezioni, diventate paral- 
lele, saranno di più simili e similmente poste, siccome dalla teoria delle 
superficie di 2.° grado è noto. Per queste due curve sarà dunque possibile 
far passar due coni, uno interno, cioè col vertice compreso fra le due 
sezioni, l'altro esterno, col vertice all’ infuori da una parte. Se ora per 
una trasformazione inversa ritorniamo alla figura primitiva, i coni non 
avranno cessato di esser coni, e le sezioni parallele avranno ripreso il 
sito e la forma iniziale. Dunque si possono sempre assegnar due coni che 
passino per le date sezioni. 
2. Lemma — Essendo date tre sezioni piane qualunque nella superficie 
(*) Ecco gli enunciati dei due teoremi di CHASLES, quali si trovano nella XXXII nota dell’ Apercu ; 
1) « Abbiasi nello spazio un tetraedro qualunque disposto rispetto ad una superficie di 2.° grado 
in qualsivoglia modo. I suoi 6 spigoli incontreranno la superficie in 12 punti, i quali 3 a 3 pos- 
sono considerarsi come aggruppati in corrispondenza ad uno dei vertici del tetraedro , e per ciascuno 
dei vertici determineranno un piano corrispondente. Questi 4 piani così costrutti incontrano le 
facce del tetraedro, opposte ai vertici corrispondenti, lungo quattro rette appartenenti allo stesso 
sistema di generatrici rettilinee di un iperboloide ad una falda ». 
2) « Quando per gli spigoli di un tetraedro comunque situato nello spazio , si conducono ad 
una superficie di 2.° grado 12 piani tangenti: ad ogni faccia del tetraedro corrisponderanno tre 
di questi piani, passanti pei lati della faccia stessa. Questi 3 piani determineranno colla loro 
intersezione un punto in corrispondenza a ciascuna delle 4 facce ; e questo punto, unito col verlice 
del tetraedro , ch’ @ opposto alla faccia corrispondente, darà luogo ad una retta. Le quattro rette 
in tal modo costrutte sono quattro generatrici di uno stesso iperboloide ad una falda, ed appar- 
tengono allo stesso sistema » 
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