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270 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
delle sezioni E, , Z, , X, formeranno quattro sistemi di coni coniugati, e 
tre coni coniugati avranno sempre i loro vertici in linea retta. 
3. Teorema - Nella superficie S consideriamo ora quattro sezioni piane 
che designeremo con £,, 2,, X,, X, (fig. 14). Unendo due a due le 
2,, 2,, Z% con un sistema di tre coni coniugati, otterremo tre vertici P, , 
P,, P, in linea retta. Combinando similmente 3,, 3,, £,, e ritenendo 
fra X,, E, lo stesso cono che si è impiegato nella combinazione prece- 
dente X,, E,, 23, avremo tre altri vertici P,, P;, P, in linea retta, dei 
quali il vertice P, sarà comune colle due combinazioni. Eseguendo una 
terza combinazione di coni coniugati fra 3,, X,, X, ed avendo cura d'im- 
piegare fra X, e X,, fra X, e 3, gli stessi coni di cui nelle anteriori 
operazioni si fece uso, otterremo tre vertici in linea retta P,, DS dis 
dei quali P; e P; appartengono alle combinazioni precedenti. Finalmente 
la quarta ed ultima combinazione Z,, 3;, E, formata coi coni già pre- 
cedentemente descritti fra E, e X,, fra E, e 3,, fra 3, e 2, darà in linea 
retta tre vertici P,, P,, P; che tutti già occorrono nelle combinazioni 
precedenti. 
Dunque allorquando 4 sezioni piane di una superficie di 2° grado 
vengono due a due collegate con 6 coni coniugati 3 a 3, i vertici dei 
6 coni così ottenuti si trovano tutti nel medesimo piano , e giacciono tre 
a tre su A linee rette situate in quel piano. 
4. Questo è il teorema, che si può riguardare come rappresentante 
nella spazio il teorema di Pasca. L’analogia risulterà palese dalle seguenti 
considerazioni. Se per una delle quattro rette su cui si trovano i vertici 
Pi, P,, Ps, P,, P:, Ps, per esempio P,, P, , P, (fig. 16) conduciamo 
un piano, il quale intersechi la superficie S e i tre coni, che in quella 
retta hanno i loro vertici, ne risulterà una sezione simile alla figura 16. 
La superficie S darà per sezione una conica, e le 6 rette risultanti dalle 
sezioni dei coni P,, P,, P; formeranno un esagono t, 2, 3, 4, 5, 6 inscritto 
alla conica: l'insieme della figura rappresenterà dunque il teorema di 
PascaL in piano. E si vede, che le condizioni, le quali furono espresse 
più sopra col dire che i coni P,, P,, P, sono fra loro coniugati, nel 
piano equivalgono all'altra , che i tre fasci di rette P,, 2,, P, risultanti 
dalla sezione di que'coni determinino entro alla conica un perimetro 
esagonale continuo, i cui lati opposti appartengano al medesimo fascio. 
Quindi il teorema piano si potrà esprimere dicendo: Quando le tre sezioni 
rettilinee 3,, X,, X; di una conica si uniscano due a due con 3 fasci 
