DI G. V. SCHIAPARELLI 251 
coniugati di rette, i punti di convergenza di questi fasci staranno in 
linea retta fra di loro. 
Ora al sistema triangolare di fasci rettilinei si sostituisca un sistema 
tetraedrico di coni ed alle tre sezioni rettilinee Z,, X,, X, della conica 
( consistenti ciascuna in una coppia di punti ) si surroghino quattro sezioni 
piane della superficie di 2.° grado, ed avremo il passaggio dalle condizioni 
del teorema piano a quelle del teorema solido. Il risultato sarà, che 
mentre i tre fasci rettilinei convergono sulla stessa retta P, , P, qi Pei 
sei coni convergeranno:in vertici P,, P,, D, P, $0 Pos Piesituati nel 
medesimo piano: di più questi vertici saranno tre a tre in linea retta (t 
5. Dall'enunciato del teorema precedente si potrebbe senz'altro dedurne 
col principio di dualità un altro rappresentante nello spazio il teorema 
di Briancnon. Amiamo però meglio sviluppare I’ intiera dimostrazione , 
che molto facilmente risulta doi principi della deformazione omografica. 
(^) Siccome tre sezioni 3,, X,, Ez danno luogo a quattro sistemi di coni coniugali, con quattro 
sezioni Z,, Za, 33, E, si potranno fare parecchi sistemi di coni coniugati tre a tre, per cui valga 
il nostro teorema. La discussione delle diverse combinazioni possibili in questo genere allunghe- 
rebbe oltre ad ogni misura conveniente questa già prolissa digressione ; basterà dire, che in ultimo 
risultato con le medesime quattro sezioni non si possono ottenere più di otto figure diverse, sulle 
quali il teorema si possa enunciare. 
Fra le conseguenze assai numerose che si possono ricavare da questo teorema, vogliamo accen- 
narne qui una classe particolare. È facile dimostrare coll’aiuto della trasformazione omografica , 
che quando una superficie di 2.0 grado ha il suo contorno proiettato ortograficamente sopra un piano, 
ogni altra conica tracciata nel piano e avente colla conica di contorno un duplice contatto (reale od 
immaginario) può riguardarsi come proiezione ortografica di una sezione piana della superficie. Dunque 
allorquando si abbiano descritte in un piano più coniche doppiamente tangenti ad un’altra, che 
chiameremo C, esse potranno riguardarsi come proiezioni di altrettante sezioni piane di una su- 
perficie S di secondo grado, avente C per contorno ortografico. E se per queste sezioni piane 
prese due a due si conducano dei coni, questi saranno rappresentati sulla proiezione da altrettante 
coppie di tangenti comuni alle coniche. Se quindi la figura che abbiamo considerato nel n.° 2 
s’intenda proiettata ortograficamente , nascerà il seguente teorema in piano: essendo descritte in 
un piano 3 coniche X,, X,, X4 doppiamente tangenti ad una quarta, esse determineranno sei coppie 
di tangenti comuni, le quali concorreranno in 6 punti situati tre a tre in linca retta. Proiettando la 
figura considerata nel n.° 3, avremo quest'altro : essendo descritte in un piano 4 coniche X, , X, , 53, DA 
doppiamente tangenti ad una quinta : se due a due si colleghino con 6 coppie di tangenti coniugate 3 a 3 
(il significato della parola coniugate essendo preso qui in un senso analogo a quello sviluppato 
nel n.° 2 pei coni) si otterranno 6 punti di concorso situati tre a tre în linea retta. 
Se si abbia un ellissoide di rivoluzione, il cui asse principale sia piccolissimo rispetto ai due 
assi equatoriali ; facendo nelle vicinanze dei poli delle sezioni molto piccole rispetto al circolo 
equatore, quesle sezioni saranno pochissimo differenti dalla forma circolare, e quando l'equatore 
diventi infinitamente grande, elle saranno rigorosamente circolari, e di più potranno considerarsi 
come giacenti in uno stesso piano. Dal che segue che più circoli descritti comunque in un piano 
possono riguardarsi come aventi un duplice contatto immaginario con un circolo infinitamente 
grande che li circondi. Ad un sistema di tre e di quattro circoli potranno dunque eziandio adat- 
tarsi i due teoremi precedenti, e ne derivano delle proposizioni conosciute. 
