> 
À 
i. 
> x 
274 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
d'intersezioni coniugate. Resta a dimostrare, che come i vertici di un 
sistema di coni coniugati si trovano s'una linea retta, i 3 piani d'un 
sistema d’ intersezioni coniugate s'incontrano anche s'una linea retta. 
Per tal fine, dato un sistema d intersezioni coniugate, costruiremo 
i correlativi coni di sezione , i quali avranno i loro vertici in linea retta. 
Questa retta, collocata sul piano accidentale di una deformazione omo- 
grafica, dopo la trasformazione andrà a distanza infinita, e i 3 coni si 
convertiranno in cilindri ($ X, 2). Di più per inclinazione ed estensione 
proporzionale potremo sempre ridurre la superficie S così trasformata ad 
una sfera. Come le curve X,, X,; 2; non han cessato di esser piane, 
esse saran diventate circoli della sfero. Di più elle debbono essere due 
a due curve d'entrata e d’uscita di 3 cilindri; questo è sufficiente per 
stabilire, che non solo si saranno convertite in tre circoli, ma in tre 
circoli eguali. In questa figura per conseguenza i vertici V,, V,, V3 
dei tre coni tangenti saranno ad eguali distanze dal centro della sfera. 
Unendo questi tre vertici con un triangolo rettilineo , le sezioni reciproche 
dei 3 coni V,, V., V3, che sono correlative dei 3 cilindri saranno 
perpendicolari sui punti di mezzo dei suoi lati (fig. 18); i loro piani 
OM, ON, OP passeranno tutti pel centro della sfera e pel centro del 
circolo circoscritto al triangolo /,, V., V3. Questi piani dunque avranno 
una retta unica per intersezione comune (retta figurata dal punto O nella 
fig. 18): e lo stesso ebbe luogo prima delle trasformazioni. 
8. Consideriamo finalmente una superficie qualsivoglia di 2.° grado S, 
a cui da quattro punti qualunque V,, #,, Vs, V, si siano circoscritti 
quattro coni tangenti. Essi determineranno quattro curve di contatto 3,, 
2,, X,, E,. Fra le medesime prese due a due si conducano 6 coni di 
sezione, coniugati tre a tre (come nel n.° 3). Avremo , correlativamente 
ai medesimi, 6 curve d intersezione dei coni 77, #,, V3, K, pure 
coniugate tre a tre. 
| vertici dei 6 coni di sezione, in grazia del teorema analogo a quello 
di Pasca, giaceranno in un medesimo piano (n.° 3). Assumasi questo 
come piano accidentale di una deformazione omografica. I 6 coni saranno 
cambiati in altrettanti cilindri (S X, 2). Con inclinazione di coordinate 
ed estensione proporzionale si riduca la superficie ad una sfera. Le 4 
sezioni 3,, X,, 23, 2, diventeranno altrettanti circoli; ed essendo collegate 
due a due con cilindri, agevole è mostrare, che questi quattro circoli 
y 
2) 
saranno eguali. Per conseguenza nella trasformazione i punti 77, 
£ 
