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280 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
che le trasformate, cioè: a:y::€:1. Dunque il punto primitivo P e il 
trasformato P' (fig. 22) si trovano sulla medesima retta condotta per 
l'origine. Cioè si conservano le direzioni rettilinee intorno al centro della 
trasformazione. Ogni retta condotta per O dunque non si troverà cam- 
biata dopo la trasformazione : ma avrà soltanto subìto uno scambio di 
punti lungo la propria direzione. Se P' è il trasformato di P, sarà in- 
versamente P il trasformato di P'. 
3. I punti che si trovano nell'angolo YO X o nel suo opposto Y'Ox 
dopo la trasformazione vi rimangono (*); al contrario quelli che sono 
nel 2.° quadrante passano nell'opposto, cioè nel 4.° : e inversamente quelli 
del 4." passano dopo la trasformazione nel 2.” Fatta questa eccezione, il 
modo di trasformazione procede analogo nei quattro quadranti. 
4. Essendo condotte parallelamente agli assi le quattro rette AB, 
BC, CD, DA alla distanza 1 dall'origine; i punti di 4B dopo la 
trasformazione passeranno su A D e viceversa. Lo stesso vale per le rette 
C B, C D. Così p. e. i trasformati dei punti mn p q saranno m n p! q' 
e viceversa. 
5. E similmente tutti i punti di una retta verticale P; dopo la tras- 
formazione passeranno sopra un orizzontale i P': viceversa i punti di 
ogni orizzontale P'i o Ph passeranno suna verticale Pi o P'h. Luna 
retta è determinata sempre dall’altra in guisa, che il prodotto delle loro 
distanze dagli assi a cui corrono parallele sia costantemente eguale a + 1. 
Per conseguenza il luogo geometrico dei punti ¿ ove le rette orizzontali 
e verticali incontrano le loro trasformate sarà l’ iperbole x y = 1. È ma- 
nifesto che il punto ¿ di quest iperbole (ove le rette primitiva e trasformata 
s'incontrano) è trasformato di sè medesimo: quindi la stessa iperbole 
godrà la prerogativa di esser linea dei punti invariabili. Il che si fa ma- 
nifesto anche dalle equazioni (1) dove si ha x =6, y =% , quando si 
ponga xy = 1, oppure £x = 1. 
6. Se dunque essendo dato un punto P si vuole avere il suo tras- 
formato ; l iperbole dei punti invariabili servirà a darne una costruzione 
più comoda che quella risultante dalle equazioni (1). Perchè conducendo 
Pi verticalmente fino al suo incontro coll’ iperbole in z, il punto trasformato 
dovrà trovarsi sull'orizzontale i P' condotta per i (n.° 5); e traendo P A 
(^) Per chiarezza si. usa qui delle denominazioni 1.°, 2.°, 3.2, 4.? quadrante per gli spazi FOX, 
YOX', Y'O X, Y'OX, togliendole dalle analoghe della trigonometria. 
