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282 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
della stessa iperbole xy =a. Dunque una tale iperbole si trasformerà in 
un’altra simile e concentrica, la cui equazione è En=2. Tutte queste 
iperboli cosi primitive come trasformate appartengono al sistema consi- 
derato nel $ VI, e come dovremo più sotto farne uso , adotteremo per 
esse la denominazione di ¿perboli parallele. 
11. La figura 23 serve a mostrare nel suo complesso il modo con 
cui questa trasformazione distribuisce i punti situati nel suo piano. Oltre 
all iperbole. +1 dei punti invariabili vi si trovan costrutte le iperboli 
parallele xy=—1, xy=t;, xy=}; indicate coi numeri — 1, 
æ!, +! sulla figura; e le trasformate di queste xy=—1, axy==2, 
æy=+4, quali risultano dalle equazioni (1). Queste trasformate sono 
indicate coi numeri +2, +4, ecc. Vi sono inoltre tracciate alcune di- 
rezioni partenti dall'origine. Quando nel riguardare questo disegno si 
avverta che: 1.° ogni punto ha il suo trasformato sulla stessa retta passante 
per. l'origine; 2.” che ogni iperbola ha per trasformata quella indicata 
da un numero inverso (come p. e. l'iperbole —; rispetto all iperbole 
— 4); 3.° che dal 2.° quadrante conviene passare al 4.” e viceversa; si 
concepirà facilmente nel suo ‘insieme l’effetto che la trasformazione iper- 
bolica dee esercitare sulle figure ad essa sottoposte. 
12. Si è veduto (n.° 9) che ogni punto situato sopra un asse a di- 
stanza a dall origine passa, dopo la trasformazione, all’ infinito, stando 
però a distanza = dall’asse su cui già si trovava. Dunque ad ogni punto 
in cui la linea primitiva interseca l’asse x corrisponderà un ramo duplice 
asintotico , avente un asintoto parallelo a quest'asse. E il prodotto delle 
distanze dell’asintoto e del punto primitivo dall'origine sarà =- 1. Lo 
stesso vale per l’asse y. Quando un ramo della primitiva è asintotico ad 
uno degli assi, dopo la trasformazione lo sarà ancora, e reciprocamente. 
13. Il punto O dopo la trasformazione si converte nello spazio che 
si può immaginare circondi la figura in tutte le direzioni a distanza in- 
finita. Ne segue, che quando la curva primitiva passa una o più volte 
per l’origine delle coordinate, dopo la trasformazione essa acquisterà 
altrettanti rami procedenti all'infinito nella divezione che aveano le tan- 
genti alla curva primitiva in O. Inversamente tutti i rami che vanno 
all' infinito non parallelamente agli assi daranno, dopo la trasformazione, 
altrettanti archi curvilinei convergenti in O; e le tangenti ivi condotte 
saranno parallele alle direzioni che i rami primitivi aveano a distanza 
infinita. 
