DI G. V. SCHIAPARELLI 283 
14. Il grado delle curve viene da questa trasformazione generalmente 
duplicato. Caso di eccezione è quello, in cui la curva primitiva passa 
per l’origine. Allora, se l'equazione primitiva è del grado m, quella della 
trasformata sarà del grado 2m— 1 , generalmente parlando. Ma può av- 
venire, che la trasformata sia di grado anche minore. Infatti la nostra 
trasformazione essendo reciproca, le curve primitiva e trasformata pos- 
sono intervertire il loro uffizio; e se p. e. un’equazione del grado m ha 
la trasformata del grado 2m, o 2m-—1, questa al contrario avrà per 
trasformata la curva primitiva di grado m. In tal guisa molte curve di 
2.° grado potranno ridursi al primo: e molte di terzo e di quarto grado 
potranno ricondursi al secondo. 
15. Se per esempio vogliamo esaminare quale sia l’effetto della tras- 
formazione iperbolica sopra una retta qualunque, troveremo anzitutto, 
ch'essa si convertirà in una curva di secondo grado. Inoltre, siccome 
questa retta si estende all'infinito in una direzione non parallela agli assi, 
la sua trasformata dovrà (n.° 13) passare una volta per l'origine: e la 
tangente della trasformata nell'origine sarà parallela alla retta primitiva 
(fig. 24), cioè pq parallela ad 4C. J due punti MV in cui la retta 
incontra gli assi determineranno (n.° r2) nella trasformata due asintoti 
facili a costruire, i quali saranno paralleli agli assi, mp, nv. Essi s'in- 
tersecheranno in un punto P' centro della trasformata, il quale sarà 
trasformato del punto P avente OM, ON per coordinate. Del resto ai 
punti primitivi 4, B, C corrisponderanno sulla trasformata 4”, B', C'. .. ; 
i punti M, N fuggiranno ad una distanza infinita; un ramo RS dell'iper- 
bole trasformata sarà generato dal segmento MN della retta primitiva, 
mentre le parti rimanenti N 4, MC, genereranno le porzioni OA’, OC! 
dell'altro ramo 777. Quando in un piano siano descritte più rette, esse 
si trasformeranno in un sistema d'iperboli passanti per l'origine O, e 
aventi asintoti paralleli agli assi e paralleli fra loro. Gli angoli compresi 
fra queste rette si riprodurranno tutti nel punto O comune alle diverse 
trasformate. La proposizione inversa è egualmente vera: cioè un sistema 
d’iperboli passanti per l’origine e aventi gli asintoti paralleli agli assi 
dopo la trasformazione si cambierà in un sistema di rette. Tulte queste 
proposizioni si ottengono anche con una discussione analitica fondata 
sulle equazioni (1). 
16. In questa trasformazione si riprodurranno evidentemente tutte le 
proprietà descrittive delle figure: così per esempio quando più linee pas- 
