Li 
1 
3 
4 
1 
284 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
sano per uno stesso punto , dopo la trasformazione elle passeranno pe! 
punto trasformato del primo : quando due linee sono fra loro tangenti, 
lo saranno pure le loro trasformate ecc. Ma le proprietà metriche, quelle 
cioè in cui sono compresi rapporti e misure, perdono nella trasformazione 
la loro semplicità. Fra le proposizioni di questo genere per conseguenza 
non vogliamo che sceglierne una, la quale sarà in seguito di qualche 
uso. Cioè in questa trasformazione si conservano i rapporti anarmonici 
delle proiezioni di 4 punti sugli assi delle coordinate, e tutte le altre 
proprietà metriche che dalla conservazione di questi rapporti anarmonici 
dipendono. La dimostrazione si ottiene dalla considerazione delle (1) in 
modo perfettamente analogo a quello che si è seguito: nel $ IV per un 
caso simile. 
XV. Proprietà relative alla deformazione delle figure infinitesime. 
Noi dobbiamo al presente esaminare le mutazioni che la trasforma- 
zione iperbolica introduce nelle direzioni. Siccome una linea retta ge- 
neralmente si trasforma in una curva, non potremo qui considerare le 
direzioni lungo un tratto finito, dipendendo la direzione trasformata 
anche dal punto, che sulla retta si considera, Dovremo dunque limitarci 
a considerare la variazione di direzione di un elemento infinitesimale. 
In generale, essendo dato un elemento d'una curva, e la sua direzione 
(o la sua tangente) trovare la direzione dell'elemento trasformato 6 il 
problema che dobbiamo risolvere. Ció si potrebbe fare molto facilmente 
colle equazioni trasformatrici (1): ma la seguente via ha il vantaggio di 
porre immediatamente sott'occhio il senso geometrico dei risultati, e di 
porci in mano la soluzione di un altro problema, che è quello di de- 
terminare la deformazione delle figure infinitesime. 
Siano P, Q (figura 25) i due punti infinitamente vicini che deter- 
minano la direzione dell'elemento lineare PQ: siano P', Q' i punti tras- 
formati, e P'(Q' la direzione trasformata dell'elemento. Per i punti 
P, Q, P', Q' si conducano le iperboli parallele (S XIV, n.° 10) ; quelle 
che passano per P' Q' saranno trasformate di quelle che passano per 
P, Q. Se inoltre conduciamo ad O i raggi vettori PP", QQ', avremo 
formato due quadrilateri PQRS, P'Q'R'S', dei quali uno sarà tras- 
formato dell’altro. Essi si accosteranno tanto più alla forma di paral- 
lelogrammi rettilinei, quanto più piccoli si prendono. Dico, che questi 
