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286 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
la figura R' P'q's! che ne deriva sarà simile a PRSQ, e simetricamente 
disposta. La relazione adunque che passa fra le figure primitiva e tras- 
formata è quella che ha luogo fra due figure prima simetriche, di 
cui siansi poi inclinate tutte le ordinate sotto un medesimo angolo 
(fig. 27). Per questo si potrebbe dare alla relazione esistente fra le due 
figure il nome di similitudine supplementare , o simetria obliqua. Mentre 
la similitudine ordinaria è assoluta, e di una sola specie, la similitudine 
supplementare è diversa, variando coll’inclinazione che si dà alle ordinate 
delle figure che prima erano simetriche. Nel nostro caso quest'angolo 
è eguale a quello che fanno le iperboli parallele col raggio vettore delle 
due figure infinitesime. La similitudine supplementare varierà dunque col 
variar delle direzioni lungo cui si cammina a partire da O: soltanto sulle 
rette inclinate a 45.° rispetto agli assi ella si cambia in simetria assoluta, 
essendo ivi le iperboli parallele ortogonali al raggio vettore. 
La trasformazione ciclica, o il principio delle immagini di Tuomson 
conserva la similitudine assoluta delle figure infinitesime, come avviene 
pure nella proiezione stereografica della sfera, e in quella di Mercaron. 
Al contrario la trasformazione iperbolica conserva solo la similitudine 
supplementare. 
Se supponiamo descritto intorno al punto primitivo P (fig. 26) un 
circolo infinitamente piccolo di raggio PY’, esso si trasformerà per si- 
militudine supplementare, ed è manifesto che ne deve risultare un'ellisse 
concentrica al punto P'. Per determinare la forma e la disposizione di 
questa ellisse, osserveremo che il massimo ed il minimo valore di 2'/7 
avranno luogo quando il rapporto delle diagonali RS, PQ sarà massimo 
o minimo. È facile dimostrare, che ciò avrà luogo nei due casi, in cui 
il. parallelogramma RSPQ è un rombo. Dunque i rapporti massimo e 
minimo si avranno quando una diagonale è parallela ad un asse e l'altra 
all'altro. Questo è sufficiente per far vedere, che gli assi dell’ellisse tras- 
formata sono paralleli a quelli delle coordinate, e che il loro rapporto 
è eguale al quadrato del rapporto delle linee OM ed ON. E che la 
deformazione, la quale produce la similitudine supplementare, può ridursi 
a due estensioni proporzionali nelle direzioni degli assi delle coordinate. 
Tutte queste proposizioni sono casi di altre più generali che si adat- 
tano a qualsivoglia trasformazione continua. 
