DI G. V. SCHIAPARELLI 287 
XVI. Applicazione della trasformazione iperbolica. - Dimostrazione dei teoremi 
di Desarcues e di Sturm sulle coniche condotte per quattro punti. 
1. Lemma. Da un punto S (fig. 28) preso sull’asintoto di un'iperbole 
si condncano alla curva 3 seganti qualunque, e si proiettino i sei punti 
d intersezione sull'asintoto stesso per mezzo di rette parallele all’altro 
asintoto. È noto che le porzioni di una segante comprese fra la curva 
e i due asintoti sono eguali fra di loro. Per questa ragione avremo nella 
nostra figura O4 = Sa, OB=SB, 0C= Sy; ed eleggendo 3 segmenti 
fra ‘i punti 4, B, C, a, B, y, in guisa che i loro termini siano tutti 
espressi da lettere diverse (il che si può fare in 8 modi differenti) avremo 
le relazioni evidenti 
AB.By.Ca=4A%).CR.Bu; AB. By.Ca=A4y.CB.of | 
AB. BC. ya=AC.By.Bu;  AB.Ch.ay=AC.By.ag\ O 
esprimenti fra i sei punti 4, B, C, «, B, y quel rapporto, che gli 
odierni Geometri chiamano involuzione. 
2. Un tale rapporto fra 6 punti situati in linea retta si conserva anche 
dopo la trasformazione omografica. Ciò si potrebbe far vedere mostrando 
che l' involuzione non esprime altro che l'eguaglianza di 2 rapporti anar- 
monici ($ IV). Ma per maggior brevità osserveremo , che quando 6 punti 
sono in involuzione, anche le loro proiezioni sugli assi lo sono. Se dunque 
le ordinate dei 6 punti siano Jas Yn» Jc Jas Ja» Ty} avremo 
4poy,—ya.,  Byey-—ys, ecc 
E le relazioni (2) si potranno scrivere in funzione di queste ordinate : 
per esempio la prima verrà espressa con 
ea) (ire) (ENTI N Sr) : 
Trasformando ora per prospettiva, ed adottando notazioni analoghe per 
. , I Dd. 
le coordinate trasformate , sarà in generale y=—, quindi 
n 
1 I I 
t>, Ps. "==, ecc 
Va tar wn * Va 2 
I I I 
Ve — V= — — = — Nm); =y; = ni); ecc 
Laico + "a 
La relazione precedente diventa cosi 
