DI G. V. SCHIAPARELLI 289 
tre seganti, indi prendiamo il punto X' sovra uno dei rami iperbolici a 
distanza infinita, il fascio involutore si comporrà di 6 rette parallele ad 
un asintoto, determinanti sull'altro sei punti 4BCafy in involuzione. 
Cioé le proiezioni dei punti abc; a'd'e' sugli asintoti, o sugli assi delle 
coordinate loro paralleli, sono in involuzione. Queste proiezioni resteranno 
ancora in involuzione quando si trasformi iperbolicamente (n.° 3). 
6. Consideriamo al presente tre sezioni coniche (fig. 31) passanti 
tutte per quattro punti M, N, P, Q. Sia RS una segante rettilinea 
qualunque, 4, B, C, «, B, y i 6 punti d’intersezione. Quindi a) si 
trasformi per prospettiva, assumendo per linea dei punti accidentali una 
delle corde comuni alle 3 coniche. Due delle quattro intersezioni MNPQ 
fuggiranno allora all” infinito, e avremo (S IV) un sistema di 3 iperboli 
passanti per due punti, per esempio M, JV, e aventi gli asintoti paralleli. 
La segante RS non cesserà di esser rettilinea. 2) S’inclinino le ordinate 
in modo che le iperboli diventino tutte equilaterali, e si fissi l'origine 
in uno dei punti comuni, p. e. in M, prendendo gli assi nella direzione 
degli asintoti. c) Si trasformi iperbolicamente. Allora siccome tutte le 
iperboli hanno gli asintoti paralleli agli assi e passano pel punto M, origine 
delle coordinate; dopo la trasformazione esse diventeranno 3 rette, non 
aventi più che un punto comune JV (fig. 30). Al contrario la segante RS 
si convertirá in un'iperbole equilatera avente gli asintoti paralleli agli assi. 
I 6 punti ZB Caf della fig. 31 si saranno mutati in a, b, c, a’, b', c 
(fig, 3o). Ma fu dimostrato (n.° 5) che in questo caso le loro proiezioni 
sugli assi delle coordinate sono in involuzione. Dunque elle doveano altresì 
esserlo prima di tutte le intraprese trasformazioni : cioè le proiezioni di 
ABC, «By (fig. 31) sono in involuzione. Siccome questi punti stanno 
in linea retta, formano essi medesimi involuzione. Ne concludiamo il bel 
teorema che segue , dovuto a Srurm; tre coniche passanti per gli stessi 
quattro punti determinano suna segante qualsivoglia 6 punti in involu- 
zione. Nel caso particolare in cui una delle 3 coniche si riduca ad un 
sistema di 2 rette, si ha quest'altro : due coniche e due delle loro corde 
comuni (non formanti angolo inscritto alle coniche) determinano s'una 
segante sei punti in involuzione. Quando due coniche si riducono a due 
sistemi di rette, si ha il noto teorema di Drsarcurs. Ogni segante incontra 
una conica e un quadrilatero ad essa inscritto in sei punti formanti in 
voluzione. Quando le 3 coniche sono 3 coppie di linee rette, si trova 
per ultimo che « à Zati e le diagonali di un quadrilatero qualunque 
Serw IL Tom. XXI. 
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