298 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
riflettere, che l'iperboloide ad una falda xy +y2+2x=-— 1, sebbene 
si trasformi in se medesimo, non è più iperboloide dei punti invariabili, 
perchè ogni punto suo si trasforma in quello che gli sta diametralmente 
opposto rispetto all’origine delle coordinate. 
6. Onde esprimere questo insieme di effetti prodotti dalla trasforma- 
zione iperbolica nello spazio, potremo servirci dell’ immagine esprimente 
la trasformazione iperbolica piana, fig. 23. Supponiamo infatti, che stando 
tutte le convenzioni ed osservazioni già fatte su questa figura nel $ XIV, 
si adotti per essa una unità di misura =} di quella allora usata (*). 
S'inclinino ad angolo costante le ordinate in modo che l’angolo FOX 
diventi = 109°. 28/. 16". 44: e presa per asse di rivoluzione la linea 
retta che bipartisce quest’angolo, si faccia girare intorno ad esso tutta 
la figura. I due assi delle coordinate genereranno un cono di rivoluzione, 
il quale sarà precisamente il nostro cono fondamentale: le iperboli con- 
tenute nel primo e nel terzo quadrante daranno gli iperboloidi a due 
falde, o a parametro positivo: quelle contenute nel secondo e nel quarto 
quadrante daranno luogo agli iperboloidi ad una falda, e di parametro 
negativo. L'iperbole invariabile genererà l'iperboloide invariabile ecc. 
Quindi questa nostra trasformazione sarà (se così è lecito esprimersi ) 
una trasformazione di rivoluzione, le cui sezioni meridiane sono altrettante 
trasformazioni iperboliche piane, e per cui l’asse di rivoluzione è quello 
del cono fondamentale. 
7. Relativamente alla trasformazione delle superficie e delle linee 
alcune conseguenze possono già dedursi dalle cose or ora sviluppate. 
Tutte le figure composte di linee rette convergenti verso l’origine, cioè 
le rette ed i piani passanti per tal punto, i coni che ivi hanno il loro 
vertice, subiranno una semplice trasposizione di punti, senza cambiar 
di figura. Una figura simmetrica intorno all’asse del cono fondamentale 
ha per trasformata una figura pur simmetrica : e allora la legge di tras- 
formazione dipende da quella della trasformazione piana che si fa nel 
meridiano (n.° 6). In questo piano poi le trasformazioni succedono come 
nell'ordinaria trasformazione iperbolica piana. Quindi per esempio una 
retta che incontri l’asse del cono fondamentale si trasformerà in un’ iper- 
bole passante per l'origine ed avente per asintoti due rette parallele a 
(*) Modificazione necessaria, onde la figura che or ora produrremo corrisponda a quanto finora 
si è detto. 
