300 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC, 
che hanno il vertice sull’asse fondamentale), l'iperboloide trasformato 
diventa uno dei coni asintoti. 
g. Consideriamo uno dei piani, i quali facendo coll’asse fondamen- 
tale un angolo minore dell'angolo al vertice del cono fondamentale, danno 
luogo, dopo la trasformazione, ad uno iperboloide ad una falda. Questo 
iperboloide avrà due sistemi di generatrici rettilinee X e 2”, e per l'origine 
delle coordinate ( per cui l'iperboloide dee passare) si potrà condurre 
una generatrice G del primo sistema, e una G' del secondo. Se per 
l'origine si faccia passare un piano, il quale contenga una delle genera- 
trici del sistema X, questo piano conterrà necessariamente la generatrice G'. 
Di pià questo piano nella trasformazione non soffre che una trasposi- 
zione di punti, come sopra si è mostrato. Dunque quella generatrice del 
sistema X, per cui il piano in questione fu condotto sarà necessariamente 
la trasformata della retta intersezione di questo piano e del piano pri- 
mitivo. Tutte le generatrici del sistema X saranno dunque trasformate 
di altrettante rette del piano primitivo; ed è facile mostrare che queste 
rette giacciono nel piano primitivo parallelamente alla generatrice G'. 
Nello stesso modo si farà vedere, che tutte le rette del piano primitivo, 
le quali corrono parallelamente alla generatrice G formano, dopo la tras- 
formazione, il sistema Z’ delle generatrici rettilinee dell’ iperboloide 
trasformato. Non è bisogno avvertire, che considerando l'origine come 
punto di vista, e il piano primitivo come quadro, i due sistemi di rette 
parallele in questo contenute sono una proiezione stereografica (*) dei 
due sistemi di generatrici rettilinee dell iperboloide. 
10. Per determinare l’effetto della trasformazione sulle linee rette, 
osserveremo che una retta qualunque pud considerarsi come intersezione 
di un piano P passante per l’origine delle coordinate e di un altro Q 
condotto in qualunque maniera. Il primo non subirà che una trasposi- 
zione di punti nella trasformazione: il secondo si convertirà in un iper- 
boloide riferito eccentricamente al cono fondamentale (n.° 8). L'interse- 
zione di questo iperboloide col piano P sarà evidentemente la linea 
trasformata. Questa sarà dunque un'ellisse, un’iperbole, od una parabola, 
secondo che il piano P farà coll'asse fondamentale un angolo maggiore, 
S 
eguale o minore dell'angolo ‘al vertice del cono fondamentale. Essa si 
(*) Per analogia chiamo qui proiezione stereografica quella in cui il punto di vista essendo si- 
tuato sulla superficie, il piano del quadro è parallelo al piano tangente della superficie nel punto 
sopradetto. 
