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302 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
quello fra i coni paralleli, che passa per P. Questi assi saranno fra loro 
rettangolari ($ XVIII) e il cono, in cui sono contenuti, potrà assumersi 
come cono fondamentale di una trasformazione iperbolica. Tutti gli iper- 
boloidi , passando per l'origine ed avendo coni asintoti eguali e paralleli 
al cono fondamentale , dopo la trasformazione si troveranno mutati in 
altrettanti piani (S XVIII, 11). Dunque, tutte le proprietà descrittive 
che appartengono ad un sistema di piani si potranno egualmente bene 
attribuire ad un sistema di superficie di 2.° grado aventi una sezione 
piana e un punto comuni. À queste due condizioni si può evidentemente 
surrogarne una delle seguenti: 1.° una sezione piana comune, e un 
punto comune di contatto lungo di essa; 2.° un punto comune, e un 
contatto comune, nel quale gli ellissoidi osculatori siano simili e simil- 
mente disposti; 3.° un sol punto comune di osculazione reciproca per 
tutte le superficie. 
Coll’aiuto di questo principio generale d'analogia si può passare dai 
teoremi conosciuti relativamente ad un sistema di piani ad altri analoghi 
di nuova forma. Così per esempio rispetto ai piani vale il seguente 
teorema di Poncerer (*): Quando i vertici di due tetraedri giacciono 
due a due su quattro rette convergenti al medesimo punto, le faccie op- 
poste corrispondenti s'intersecheranno due a due secondo quattro rette 
giacenti nel medesimo piano. Lo stesso teorema varrà ancora quando 
ai piani si surroghino delle superficie di 2.° grado soggette ad uno qua- 
lunque dei sistemi di condizioni sopra accennate, e alle rette le inter- 
sezioni (che saranno curve piane) di due tali superficie. Così le facce 
curve di due tetraedri fabbricati come quelli di Poxcezer s'intersecheranno 
secondo quattro coniche appartenenti alla stessa superficie di 2." grado 
assoggettata alle medesime condizioni, cui tutte le altre si suppongono 
soddisfare. 
XX. La trasformazione iperbolica considerata dal lato analitico. 
Sua applicazione all'analisi indeterminata di 2." grado. 
A tutti i risultati ottenuti precedentemente dalla considerazione geo- 
metrica della trasformazione iperbolica, si può giungere eziandio per via 
puramente analitica, surrogando cioè alla trasformazione le formule che 
(*) Traité des propr. project. des figures, art. 582. 
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