DI G. V. SCHIAPARELLI 303 
la esprimono, e alle linee e superficie considerate finora, le loro equa- 
zioni. Astraendo allora dal significato geometrico così della trasformazione, 
come delle equazioni considerate, si avranno, in luogo di enunciati 
geometrici, altrettante proposizioni analitiche. 
1. Consideriamo primieramente la trasformazione iperbolica in 
piano, che sappiamo esprimersi nella sua massima generalità dalle for- 
mule ($ VI) 
__kn+l0é+mn5 eee ipsa (4) 
— ESE tne , POPE cala AG 1 
(doye Jos si ed | ecc. sono quantità costanti): ed applichiamola a 
trasformare una curva qualunque di 2.° grado, di cui l’equazione gene- 
rale sia: 
F(x,y)=A4x°+Bxy+Cy°+Dx+Ey+F=o0 ..... (5) 
surrogando in questa le espressioni (4), dopo aver fatto sparire il deno- 
minatore (ru+sé+né) risultante dalla sostituzione, si otterrà per 
equazione trasformata 
REV + SHE + TE + UE+VE + W no ....(6), 
dove per brevità si è fatto 
R= Aq +Bmq+Cm'+Dpt+Emt+Ft' 
S=24pq+B(mp+lq)+2Cml+D(pt+qs) +E(lt+ms)+2Fst 
T=2Ang+B(kqg+mn)+2Ckm+D(nt4-qr)+E(kt+mr)+-2Frt 
U= Ap’ + Bpl+Cl+Dps+Els+ Fs 
V=2Anp+B(kp-+nl)+ 2CkI+-D(ns-+-pr) +E (ks+lr)-+-2Frs 
W= An'4+ Bkn+Ck'4Dnr+Ekr+ Fr 
L'equazione (6) è propriamente del quarto grado in £, z ; ma questo 
grado si potrà abbassare per divisione ogni volta che uno dei termini 
UE”, If n? si mandi a zero col fare U=0, o IF =o, e determinando 
i coefficienti ky Ns della trasformazione (4) in conseguenza, Affinché 
però con questo artifizio la (6) si abbassi al primo grado bisogna e basta 
(come si pud provare dall'enumerazione dei diversi casi particolari), che 
si abbia nello stesso tempo R=o, U=0, W =o, ossia che fra i 
coefficienti della trasformazione (4) esistano le tre relazioni 
