DI G. V. SCHIAPARELLI 307 
unico di valori trasformati ë, 4 soddisfacenti all'equazione (12) e vice- 
versa. L'un sistema deriverà dunque dall'altro per mezzo di equazioni 
di 1.° grado e di operazioni razionali. Se adunque noi supponiamo che i 
coefficienti 4, B, C..... dell'equazione (5), i coefficienti r, s, £ delle 
formule trasformatrici (10), e î tre sistemi di valori soddisfacenti alla (5), 
a’, B's a", B"; a", Bl, siano quantità razionali, i coefficienti della 
trasformata (12) lo saranno pure; e ad ogni sistema di valori razionali 
dx ed y soddisfacenti alla (5) corrisponderà un sistema simile di valori 
E, n soddisfacenti alla (12), e inversamente. Questi sistemi sì corri- 
sponderanno dunque ciascuno a ciascuno nelle due equazioni, e la ricerca 
delle soluzioni razionali dell’equazione (5) si ridurrà a quella delle so- 
luzioni analoghe dell'equazione lineare (12). 
Propriamente dunque la difficoltà del problema di risolvere la (5) in 
numeri razionali (essendo 4, B, C.... coefficienti scevri da ogni incom- 
mensurabilità) è ridotta a trovare tre sole soluzioni razionali (a’, f), 
(«", B"), (a"", Bl") dell'equazione proposta. Ora 6 facile dimostrare , 
che avendone soltanto wna, se ne possono derivare non solo tre, ma 
anche infinite (*). Dunque la trasformazione iperbolica dà il modo di 
esprimere in una sola formula tutte le soluzioni razionali di un’equazione 
di 2.2 grado a 2 variabili, tosto che una di queste soluzioni sia cono- 
sciuta. Per. tal fine si ha la semplice regola che segue: 
« Dalla data soluzione razionale se ne ricavino due altre, in guisa 
» da avere le tre (2', B'), (a", 8"), (a, Bl); si formino con esse le 
» quantità 
a+), BR"); (d+ a"), (BR; Lata"), i(p'+-p"). 
« Si surroghi successivamente il primo, il secondo ed il terzo di 
» questi 3 sistemi di valori nella data equazione di 2° grado F(x,y)=0: 
» in luogo di zero al 2.” membro si otterranno tre numeri, che sopra ab- 
» biamo simboleggiato con (r. 2), (1.3), (2. 3). Essendo r, s, t delle quan- 
» tità razionali arbitrarie, si formi fra le variabili &, n l'equazione lineare 
st(1.2)E+rt(1.3)n+rs(2.3)=0 ; 
(*) Sia per esempio (m, , #, ) la soluzione razionale data. AI valore di m, corrisponderanno 
sempre nella (5) due valori di x, cioè z, ed n: dei quali il primo essendo razionale, l’altro lo 
sarà pure. Così anche al valore di n, corrisponderanno due valori di m, cioè m, ed m,, e se m, 
è razionale, lo sarà anche m,. Così abbiamo le tre soluzioni razionali (m, , 2,), (m,, n4), (My, 21): 
ed è facile dalle ultime due per via analoga derivarne altre due, da queste ancora due, e così 
all’ infinito. 
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