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308 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
» tutte le soluzioni razionali della F(x,y)=0o saranno date dalle so- 
» luzioni razionali di questa equazione, per l'intermedio delle formule 
rasp E+ tf ns ee SME tang 
» = : - - ». 
y ra+st+tne ra+se+tné 
2 = 
Risoluzione generale delle equazioni indeterminate omogenee di 2.° grado 
a 3 variabili in numeri interi. È noto che la risoluzione di una equa- 
zione omogenea qualunque in numeri interi si può ridurre alla risoluzione 
in numeri razionali di un’altra equazione dello stesso grado, contenente 
una variabile di meno, ma non più omogenea. Essendo dato il tipo ge- 
nerale di una equazione omogenea di 2.° grado a 3 variabili 
Ax +Bay+Cy'+Dxz+Eyz3+F2°=o0 sue da) 
‘ T de » À 1 
se poniamo, dopo diviso per 2°, — =x,, — =<y,, si troverà: 
| p OOF P > 1) Jo 
3 g 
Ax 2- Bx, y,2- Cy +D, Ey F= o soon 
ed è manifesto, che ogni soluzione in numeri interi della prima darà 
una soluzione razionale della seconda: inversamente ogni soluzione ra- 
zionale di questa darà luogo ad una soluzione intera della prima. I due 
sistemi di soluzioni si corrispondono dunque completamente. Tuite le 
soluzioni razionali della (14) si possono sempre ridurre a forma di 2 
frazioni aventi il denominatore comune, così che indicando con L, M, N 
tre numeri interi, si ha per ciascuna soluzione razionale 
SAI aj 
FRI gi AR 
La soluzione intera corrispondente della (13) sarà evidentemente x =, 
La quistione adunque che qui ci proponiamo, è già implicitamente 
risoluta in quanto precede ; anzi la via or ora indicata è la più utile nella 
pratica. Ma nello stesso modo, che sopra il trovare le soluzioni razionali 
della (14) fu ridotto ad una formula di 1.° grado coll’aiuto di tre date 
soluzioni razionali della equazione proposta; si può domandare di ridurre 
tutte le soluzioni intere della (13) ad esser date implicitamente nelle 
soluzioni intere di una equazione omogenea del 1.° grado, mediante la 
cognizione di tre simili soluzioni. Le formule per tale caso si otterranno 
dalle precedenti molto facilmente, surrogando ad x, y; =, £, poi a 
Z 
