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14 SULLA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA DELLE FIGURE ECC. 
Rasos HS == O U=}, V=}, Wet. 
Aggiungendo a queste la settima M= 0 , la trasformata diventa pro- 
priamente 
ONE Pre QÈ) E o .....:... (29); 
e se abbiansi più superficie di secondo grado intersecanti il piano con- 
dotto pei 3 punti (2, (P',7'), (a^, £^, 1"), (a!", BI", y") secondo la me- 
desima conica; se di più queste superficie soddisfano. tutte alla stessa 
condizione M — o , cioè passano tutte per un quarto punto (2^5, (8%, y”), 
la medesima trasformazione sarà capace di ridurle tutte nella forma (29). 
4. L'equazione (29) rappresenta il complesso di due superficie, 
020% N£--Pu--Qt--Z-2o ....... (30). 
Nella prima si comprendono soltanto quei punti, che prima della 
trasformazione si trovavano lungo la sezione piana più volte nominata. 
Tutti gli altri punti (infinitamente più numerosi ) della superficie pri- 
mitiva F(x,y,2)=0 dopo la trasformazione si disporranno nel piano 
rappresentato dalla seconda delle equazioni precedenti. Quando sia questione 
di applicare questa teoria a delle proprietà generali delle superficie di 
2." grado, in cui non si consideri particolarmente la sezione piana sopradetta, 
si potrà far astrazione dai punti contenuti nella 9 — 0; ed allora soltanto 
si potrà dire, come abbiam fatto più sopra, che la superficie data di 
2.° grado si converte in una di primo, o nel piano rappresentato dal- 
l'equazione (22). Ma se nella equazione trasformata si vuole aver rap- 
presentata una superficie contenente tutti i punti che anteriormente si 
trovavano nella data superficie di 2." grado, alla lineare (22) conviene 
aggiungere l'equazione © — 0: e una completa equivalenza della data 
F(x,y,2)=0 non si può avere che nel sistema riunito delle (30). 
La teoria geometrica esposta nei $$ XVIII- XIX conferma tutte le 
conclusioni precedenti. Ivi infatti noi abbiamo posto la sezione piana 
passante pei 3 punti (a, 8), y"), (4,8, 4"), (4, p", y"") sopra il piano 
accidentale di una deformazione omografica; ed allora questa sezione 
piana si trasformò nello spazio occupato da quelle parti dei coni pa- 
ralleli, che si trovano a distanza infinita. Ma nel deformare iperboli- 
camente, i punti di questo spazio si portano sul cono fondamentale , la 
cui equazione è appunto O =o. 
Inoltre abbiamo veduto or ora, che assoggettando più superficie di 
2.° grado a passare per uno stesso punto e per una stessa sezione piana, 
