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.DI G. V. SCHIAPARELLI 317 
indeterminate si applicano qui egualmente bene. Cioé essendo data una 
soluzione razionale dell'equazione generale di 2.” grado a 3 variabili 
F(x,y, z) = AxB +C2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=o0 
sarà sempre possibile, quando 4,B,C.....siano numeri razionali, ri- 
cavare tutte le altre per mezzo delle formule (34) e (35). A tal fine 
converrà, coll’aiuto della data soluzione razionale «', fB',y' ricavarne tre 
altre a", 8", y": a", BM, S" : a, BY, y" il che è sempre molto facile a 
farsi (veggasi $ XXI, nota) col modo indicato più sopra per le equazioni 
a 2 variabili. Coll’aiuto di tali quattro soluzioni razionali sarà agevole 
ottenere le sei quantità 
(1. 3), Ma) (3; (1.4), (an G)ige 9.495 
le quali sono i risultati che provengono dal surrogare in Z(x,y,z) in 
vece di x,y,z le coordinate dei sei punti di mezzo degli spigoli limitanti 
il tetraedro , del quale i quattro punti. 
(24 (eus 3!) ; (a", je 212) - (LAN icis y") 3 (Ces pus Jn) 
sono i vertici. Formando allora l'equazione (35), tutte le sue soluzioni 
razionali corrisponderanno ad altrettante soluzioni razionali della 
P(x,y,2)=0, le quali si otterranno mediatamente colle formule (34). 
Ma ricordando le osservazioni fatte al § XXII, n.° 4, si vedrà che 
la (35) non dà in tal modo esattamente tutte le soluzioni razionali di- 
mandate. Perché tutti quei punti (o quelle soluzioni razionali) della su- 
perficie (od equazione) F(x,7,2)=0, i quali si trovano sul piano pas- 
sante per i 3 punti, le cui coordinate sono (a’, 8, y') (2, B", y") (a", 8,71) 
non hanno corrispondenti punti (o soluzioni razionali) nell'equazione tras- 
formata o nel piano (35). 
Ma a questo difetto si può ovviare in parecchi modi: cosi per esempio 
si investigheranno le soluzioni razionali escluse, usando delle formule 
trovate pel caso di 2 variabili, ed applicandole alla sezione conica in- 
tersezione della superficie e del piano sopra nominati. Oppure si può, 
dopo usate le formule (34) e (35), formarne altre col semplice scambio 
di 2 dei quattro punti suddetti, il che riduce la cosa a fare alcune per- 
mutazioni fra i coefficienti (r. 2), (2.3) ecc. Allora avremo un'altra tras- 
formazione che comprenderà i punti esclusi nella prima , e darà le 
soluzioni razionali che prima non si potevano avere. 
Sovente accadrà che per una simetria della data equazione F(x, y, z)—0 
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