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Mettendo in evidenza che i diversi metodi di risoluzione dell'equazione di 
5° grado riduconsi ad identificazioni di sue risolventi con equazioni algebricamente 
2-54). 
Completiamo il lungo calcolo diretto della risolvente icosaedrale (v. 49-51). Calcoliamo 
direttamente con procedimento nuovo e semplice l'equazione differenziale soddisfatta 
risolubili, rendiamo chiari e facilmente accessibili i ragionamenti (v. p. e. 
dalle radici dell'equazione dell'icosaedro (v. 68-73). Esponiamo in modo chiaro quanto 
si riferisce al problema delle A ed alla sua trasformazione. Tuttavia non ci dilun- 
ghiamo mai eccessivamente; cerchiamo anzi d'esser sempre concisi. 
Considerazioni algebro-geometriche. — Le radici dell'equazione 
fa) = & + 
determinano, in coordinate pentaedriche legate dalla X ), 1 120 punti, che hanno 
per coordinate le 120 permutazioni delle cinque radici, delle quali radici, se inter- 
pretate come coordinate, si considerano solo i rapporti. Tali 120 punti sono dedu- 
cibili da uno d'essi mediante le 120 collineazioni, che rimettono su sé stesso il 
pentaedro base delle coordinate permutandone semplicemente le facce. Per nominare 
le 120 collineazioni accennate le diremo collineazioni fondamentali: esse formano un 
gruppo, che diremo gruppo simmetrico fondamentale, il quale & oloedricamente isomorfo 
al gruppo simmetrico delle permutazioni di cinque cose. 
Le collineazioni fondamentali, che trasformano in sé stessa una curva, formano 
un sottogruppo del simmetrico: diremo che tal sottogruppo è il gruppo della curva; 
ji È Ñ Ze : ` + 120 : : 
il suo ordine g è un divisore di 120 e la curva è una di ; Curve, che diremo equi- 
H 
pollenti pel pentaedro base, perché hanno le stesse proprietà relativamente al mede- 
simo: i loro gruppi sono equipollenti nel simmetrico fondamentale, perché diremo 
che due sottogruppi d'uno stesso gruppo sono equipollenti nel medesimo, se l'uno si 
possa ottenere trasformando l’altro con una sostituzione del gruppo. Per l impor- 
tanza del concetto ora richiamato (1), credo utile far notare che due gruppi simili 
possono non essere equipollenti in un gruppo, che li contenga entrambi, essendo pos- 
sibile che nessuna delle sostituzioni, che trasformano l'uno d'essi nell'altro, si trovi 
in quel gruppo nel quale sono contenuti. 
Il gruppo simmetrico contiene uno ed un solo sottogruppo d'ordine 60, che & 
formato delle collineazioni producenti permutazioni pari delle cinque coordinate: lo 
diremo il gruppo alternante fondamentale. 
Diremo che una curva è regolare, semi-regolare od irregolare secondo che il suo 
gruppo è il simmetrico, l’alternante o nessuno dei due. 
Considereremo equazioni, che contengono parametri nei coefficienti, e conteremo 
i parametri solo in quanto influiscano sui rapporti delle radici. Cosi la 
ideae H aa? + bx + ex -- d — 0 
(1) V. p. es. Kusy, Ikosaeder. Leipzig, 1884, pp. 6, 7, 88, 233. 
